kombinatoryka qsddd: Ile jest 100−cyfrowych liczb naturalnych o sumie cyfr równej 3?

Adamm: 1. pierwsza cyfra to 3, jest jedna taka liczba 2. pierwsza cyfra to 2, jest 99 takich liczb (99 możliwych miejsc na 1) 3. pierwsza cyfra to 1, oprócz niej jedynie 2, jest 99 takich

	99 2		99*98
3. 3 cyfry 1, jest		=		=4851 takich liczb
			2

w sumie 4851+99+99+1=5050

etna: Istnieją trzy sposoby zapisu liczby spełniającej warunki zadania: Sposób 1. W liczbie jest jedna cyfra 3 (na najwyższej pozycji) i pozostałe cyfry to zero: 300...0000 (łącznie 100 cyfr) Jest tylko jedna liczba spełniająca ten warunek. Sposób 2. Największą cyfrą w liczbie jest 2, a oprócz niej jest jeszcze jedna 1 i reszta to zera. Ustawiamy 1 albo 2 na najwyższej pozycji i drugą z cyfr na pozostałych 99 pozycjach.

	2 1	99 1
Stąd ilość liczb wynosi			= 2*99

3. W liczbie są same jedynki. Ustawiamy jedynkę na najwyższej pozycji i pozostałe dwie na kolejnych 99.

	1 1	99 2
Stąd ilość liczb wynosi			=1*4851

W sumie liczb jest 1 + 198 + 4851

michał:

101 2		101*100
	=		=101*50=5050
		2

olo: michał uzasadnij proszę

Mila: Tych liczb jest tyle, ile rozwiązań w zbiorze liczb całk. nieujemnych równania: x₁+x₂+....+x₁₀₀=3 , gdzie x₁≥1⇔ x₁+1+x₂+....+x₁₀₀=3 ⇔ x₁+x₂+....+x₁₀₀=2

n+k−1 n		2+100−1 2		101 2
	=		=

kombinacje z powtórzeniami

olo: Dzięki za już i proszę o więcej... Skąd (dlaczego) x₁+1 w jednym z równań. Co oznaczają symbole n, k we wzorze?

Adamm: x₁+1 ponieważ chcesz by wszystkie zmienne były całkowite nieujemne n ma wynosić suma zmiennych, k to ilość zmiennych

Mila: x₁+1 dlatego, że pierwsza cyfra nie może być równa 0.

olo: Dziękuję