lim sup sylw123: lim sup (a_n + b_n ) ≤ lim sup a_n + lim sup b_n , gdy n→∞ Mógłby ktoś napisać dowód? Z góry dziękuje

jc: lim sup a_n = lim_n sup {a_k: k ≥ n} lim sup b_n = lim_n sup {b_k: k≥ n} a_j ≤ sup {a_k: k ≥ n} dla j≥n b_j ≤ sup {b_k: k ≥ n} dla j≥n a_j+b_j ≤ sup {a_k: k ≥ n} + sup {b_k: k ≥ n} dla j≥n sup {a_j+b_j: j≥n} ≤ sup {a_k: k ≥ n} + sup {b_k: k ≥ n} Ciągi po obu stronach są nierosnące, a więc mają granice (dopuszczamy ∞) Przechodząc z n do granicy otrzymujemy żądaną nierówność.