fsfs fsf:

	2x + 1
∫		dx
	3√3x + 1

Adamm: t=3x+1

Jerzy: Ja bym podstawiał: t³ = 3x + 1

Adamm: Jerzy, po co?

Smule: sry zapomniałem ustawić nick jak to się skróci?

1
	dt = dx
3

Smule: 6x + 2 = 2t

	2		2
2x +		=		t
	3		3

1		2   t + 1 3		1		2t + 3
	∫		=		∫
3		3√t		9		33√t

Smule:

	1		1
w końcowym wzorze		zamiast
	3		9

o to chodzi?

Smule: 2.

	x5
∫		dx
	√1 − x2

t = 1 − x², x² = 1 − t

	1
xdx = −		dt
	2

	1		(1− t)2		1		1 − 2t + t2
−		∫		dt = −		∫		dt = ..
	2		√t		2		√t

dobrze?

Jerzy: Tak.

Smule: Dziękuję a takie coś?

	dx
∫
	x√x2 + 4x + 1

x² +4x + 1 = t² (2x + 4)dx = 2t (x + 2)dx = dt ani (x + 2) = t nie załatwiają sprawy przez dodatkowy x w mianowniku

Adamm: pierwsze podstawienie Eulera √x²+4x+1=t−x

Smule: aha, a jakims innym sposobem? Nie mielismy tego sposobu na zajęciach i pewnie da się zrobić inaczej

Mariusz: Adam drugie podstawienie Eulera powinno być nawet lepsze

Mariusz: Podstawienie Jerzego jest o tyle dobre że pozwoli pozbyć się pierwiastka

Smule: cos sie nie chce skrocic

Smule:

	−2t2 +8t −2
wychodzi ∫		dt
	−3t2 +4t − 1

Smule: i w mianowniku jeszcze t² − 1

Smule: ok chyba znalazlem swoj blad ..

Smule: ost. odp.

	2
∫		dt, chyba dobrze wyszlo
	t2 + 1

dzieki za pomoc.

Smule: kiedy stosowac to podstawienie ?

Mariusz: √x²+4x+1=xt+1 x²+4x+1=x²t²+2xt+1 x²+4x=x²t²+2xt x+4=xt²+2t x−xt²=2t−4 x(1−t²)=2t−4

	2t−4
x=
	1−t2

	2t2−4t+1−t2		t2−4t+1
xt+1=		=
	1−t2		1−t2

	2(1−t2)−(2t−4)(−2t)
dx=		dt
	(1−t2)2

	2t2−8t+2
dx=		dt
	(1−t2)2

	1−t2	1−t2	2(t2−4t+1)
∫				dt
	2(t−2)	t2−4t+1	(1−t2)2

	1
∫		dt=ln|t−2|+C
	t−2

	√x2+4x+1−2x−1
=ln|		|+C
	x

Mariusz: Dla całek ∫R(x,√ax²+bx+c)dx √ax²+bx+c=t−√ax a>0 √ax²+bx+c=xt+√c c>0 √ax²+bx+c=(x−x₁)t b²−4ac>0 Kilka obserwacji

	W(x)
Dla całek postaci ∫
	√ax2+bx+cdx

Jeśli a>0 to stosujesz podstawienie √ax²+bx+c=t−√ax w przeciwnym przypadku lepiej zastanowić się nad innymi metodami np całkowaniem przez części

	dx
Dla całek postaci ∫		dx
	xn√ax2+bx+c

Sprawdzasz czy możesz użyć drugiego podstawienia Eulera √ax²+bx+c=xt+√c Sprawdzasz czy możesz użyć pierwszego podstawienia Eulera √ax²+bx+c=t−√ax Jeżeli powyższych podstawień nie będziesz mógł użyć to zostaje ci trzecie podstawienie Eulera √ax²+bx+c=(x−x₁)t

Smule: a moglbys sprawdzic czy moja całka wyszła dobra? Bo przyrownuje w wolframie oba rozwiazania i to wolframowskie i zadne nie wychodzi dobrze

Smule: zle przepisalem odp. wychodzi

	2
∫
	t2 − 1

√x² + 4x + 1 = t − x

	t2 − 1
x =
	4 + 2t

	2t2 + 8t + 2
dx =		dt
	(4 + 2t)2

	t2 + 4t + 1
√x2 + 4x + 1 =
	4 + 2t

Smule: Odp.

	√x2 +4x + 1 + x − 1
ln|		| + C
	√x2 + 4x + 1 + x + 1

ze wzoru z tej strony

Smule: PS czy w tym przypadku moge uzyc wszystkich rodzajow podstawien eulera? a >0 ok c> 0 ok delta > 0 też

Smule: Obliczyłem tą całkę drugi raz podstawieniem adama i wynik wyszedł taki jak wyżej.

Smule: Up, prosiłbym o sprawdzenie moich obliczeń bo nie jestem pewien czy wyszło dobrze W wolframie i sposobie Mariusza wychodzi chyba inaczej.

Adamm: podstawieniem Adama, co? nie pamiętam żeby żadne podstawienie było nazwane moim imieniem

Smule: Mialem na mysli podstawienie eulera, ktore mi podales

Smule: Czy to zle miec podstawienie nazwane wlasnym imieniem?

Mariusz: Wygląda na to że możesz użyć wszystkich jednak drugie (to którego ja użyłem) będzie najwygodniejsze rachunkowo Spróbuj zróżniczkować otrzymany wynik

Adamm: lepiej będzie słuchać się Mariusza

Mariusz: Co dostaniesz jeśli usuniesz niewymierność z mianownika w argumencie tego logarytmu ?

Smule: Ok, a czy we wzorze, który podał Mariusz to się wyklucza, tzn.

	1
mam np. całę z
	x√(x2 + 4x + 1

c > 0 a > 0 z tego wynika, że mogę używać obu sposobów eulera? 2. We wzorze, który został podany wyżej z W(x) w mianowniku, czy w przypadku gdy W(x) = 1 wzór dalej mogę zastosować?

jc: Mariusz, symetryczna postać Smule wygląda ładniej.

Mariusz: Najpierw patrzysz czy możesz użyć drugiego podstawienia Eulera Jeśli możesz to go używasz w przeciwnym przypadku patrzysz czy możesz użyć pierwszego podstawienia Eulera Jeśli możesz to go używasz w przeciwnym przypadku zostaje ci tylko trzecie podstawienie (zakładamy że nie interesuje cię zabawa z zespolonymi) Tak , w tym przypadku podstawienie Eulera warto stosować jedynie gdy a>0 w przeciwnym razie proponuję jednak całkowanie przez części

Smule: Ok, czyli mogę użyć i pierwszego i drugiego podstawienia? Po prostu lepiej (łatwiej) użyć drugiego?

	W(x)
Podałeś wzór na ∫		dx, trochę nie rozumiem co miało by się stać z W(x) w
	√ax2 + bx + c

przypadku podstawienia √ax² + bx + c = t − √ax. Wyznaczymy jakieś t dla dx, x i pierwiastka, ale nie wiem jakby to miało skrócić w jakiś sposób pierwiastek.

Mariusz: Tak możesz użyć dowolnie wybranego podstawienia Eulera jednak najmniej obliczeń będziesz miał gdy wybierzesz drugie Po tym podstawieniu w liczniku będziesz miał pewien wielomian a w mianowniku potęgę pewnego dwumianu stopnia pierwszego Wielomian przedstawiasz w postaci sumy potęg dwumianu z mianownika , licznik z mianownikiem ci się poskraca i łatwo policzysz całkę

Smule: Faktycznie, w całce mariusza wolfram zwraca właściwą pochodną, a w mojej jest zła odp. https://www.wolframalpha.com/input/?i=log((sqrt(x%5E2+%2B4x+-1)+%2B+x+-1)%2F(sqrt(x%5E2+%2B4x+-1)+%2B+x+%2B1)) rozwiazywalem to pare razy i nie wiem gdzie sie moglem pomylic no nic.

Smule: wpisalem zły wspolczynnik c trójmianu pod pierwiastkiem (−1 zamiast 1), po zmianie jest ok.

Mariusz:

	dx
∫
	x√x2+4x−1

√x²+4x−1=t−x x²+4x−1=t²−2tx+x² 4x−1=t²−2tx 2tx+4x=t²+1 x(2t+4)=t²+1

	t2+1
x=
	2t+4

	2t2+4t−t2−1		t2+4t−1
t−x=		=
	2t+4		2t+4

	2t(2t+4)−2(t2+1)
dx=		dt
	(2t+4)2

	2t2+8t−2
dx=		dt
	(2t+4)2

	2t+4	2t+4	2(t2+4t−1)
∫				dt
	t2+1	t2+4t−1	(2t+4)2

	2
∫		dt=2arctan(t)+C
	t2+1

=2arctan(x+√x²+4x−1)+C

Smule: Mariusz we wzorze jest x² + 4x + 1, a nie x² + 4x − 1 i wyjdzie ln zamiast arctan. Z zadaniem juz sobie poradzilem i calka wychodzi dobra, wolfram zwraca prawidłową pochodną. Odp. podstawieniem 1 rozdzaju: https://www.wolframalpha.com/input/?i=log((sqrt(x%5E2+%2B4x+%2B+1)+%2B+x+-1)%2F(sqrt(x%5E2+%2B4x+%2B1)+%2B+x+%2B1)) Dziekuje Wam wszystkim za pomoc, nie wiedziałem o co w tym chodzi, już wszystko jasne co do podstawienia eulera i kiedy go stosować