Różniczkowalność funkcji Monte: Mógłby mi ktoś wytłumaczyć jak się liczy różniczkowalność funkcji? Zwykle na ćwiczeniach dostawałem przykłady, gdzie funkcja nie była różniczkowalna i to głównie wychodziło z tego, że nie była ciągła w danym punkcie. Zatem było by fajnie jakby ktoś mi wytłumaczył różniczkowalność na poniższym przykładzie: f(x) = x² dla x ∈ (−∞, 1] 2x−1 dla x ∈ (1, +∞)

Adamm:

	f(x)−f(x0)
funkcja f jest różniczkowalna w x0 ⇔ istnieje limx→x0
	x−x0

Jerzy: Zbadaj, czy f(x) jest ciągła w punkcie: x = 1

Monte: Jest ciągła w x=1. Czyli jak wyszło, że jest w danym punkcie ciągła, to licze później z tego wzoru co podał Adamm? Tylko teraz powiedzcie mi, które f(x) wstawić? Jak jest x→x₀ to musze zrobić x→1 i policzyć dla funkcji x²?

Adamm: liczysz granicę prawostronną oraz lewostronną ponieważ funkcja składa się z wielomianów to oczywiste że jest różniczkowalna dla x∊ℛ\{1} do sprawdzenia różniczkowalności używa się zazwyczaj wzoru

	f(x0+Δx)−f(x0)
limΔx→0
	Δx

Jerzy: x → 1⁺ oraz x → 1⁻

Monte: Moglbys obliczyć różniczkowalność dla tego wzoru z deltą, żebym zrozumiał o co chodzi?

Monte: f(1) = 1 lim_x→1⁻ x² = 1 lim_x→1⁺ 2x−1 = 1 Jest ciągła, to rozumiem. Chodzi mi tylko teraz o podstawienie do tego wzoru na różniczkowalność.

Adamm:

	f(x)−f(1)		f(x)−f(1)
limx→1−		i podobnie limx→1+
	x−1		x−1

Monte: limx→1− f(x)−f(1)x−1 = 0 limx→1+ f(x)−f(1)x−1 = 0

Adamm: źle

Monte: Dla obu wychodzi 0/0... Czyli trzeba liczyć z de l'Hospitala?

Monte: Po zastosowaniu de l'Hospitala Pierwsza granica = 1 Druga granica = 2

Jerzy: Bez liczenia.... funkcja nie jest różniczkowalna w punkcie: x = 1, bo posiada "szpic" w tym punkcie.

eldo: Jerzy, czyżby?

Monte: Dobra, załóżmy, że funkcja jest różniczkowalna. Wtedy jakie wyniki powinny wychodzić, gdy wyliczy się z tych wzorów? Takie same wyniki, w sensie lim lewostronne = 1 i prawostronne = 1.?

Adamm: funkcja jest różniczkowalna

Monte: Adamm, prosze rozwiąż ten przykład bo już zgłupiałem. Funkcja jest ciągła, i proszę policz jak możesz z tym wzorów x→1⁻ i x→1⁺.

Adamm:

	f(x)−f(1)		x2−1
limx→1−		= limx→1−		= limx→1− x+1 = 2
	x−1		x−1

	f(x)−f(1)		2x−2
limx→1+		= limx→1+		= 2
	x−1		x−1

Monte: Czyli jak oba wyniki są równe to funkcja jest różniczkowalna. A jakby wyszło np. w pierwszej granicy 1 a w drugiej 2 to już nie jest różniczkowalna?

Adamm: nie

Monte: Też jest różniczkowalna jak wyjdą różne wyniki granic?

Adamm: nie jest różniczkowalna...

Monte: Czyli funkcja jest różniczkowalna gdy takie same wyniki? Dzięki za pomoc.

Adamm: powiedziałem jeśli istnieje granica to funkcja jest różniczkowalna ponieważ granice stronne są różne to funkcja nie jest różniczkowalna

Adamm: w danym punkcie

Monte: Czyli w końcu ta funkcja nie jest różniczkowalna?

eldo: Monte...Twoja funkcja jest różniczkowalna, co zostało już kilka razy powiedziane Ogólnie żeby funkcja była różniczkowalna w punkcie x₀, to pochodna lewostronna i prawostronna muszą być równe w tym punkcie. W Twoim przykładzie zarówno pochodna lewostronna jak i prawostronna w punkcie x₀=1 są równe 2, więc funkcja jest różniczkowalna w tym punkcie.

Monte: Dziękuję. Adamm napisał "ponieważ granice stronne są różne to funkcja nie jest różniczkowalna." − przez to zgłupiałem bo wcześniej pisał że jest różniczkowalna. Dzięki za wytłumaczenie

eldo:

Monte: To sumując: − granica lewostronna ≠ granica prawostronna (np. lewo = 1, prawo = 3) to f. nie jest rozniczkowalna. − granica lewostronna = granica prawostronna (np. lewo = 2, prawo = 2) to f. nie jest rozniczkowalna. Zgadza się?

Monte: w tym drugim jest rozniczkowalna, przypadkowo nie dopisalem.

eldo: teraz zgadza się. jednak lepiej mówić tutaj pochodna zamiast granica, bo ktoś może źle odczytać, co mamy na myśli mówiąc granica