przestrzenie wektorowe bark: Jeżeli mam dwa wektory ((x,y,z), (a,b,c)), które są liniowe niezależne względem siebie i rząd tych wektorów wynosi dwa to generują one przestrzeń? Miałem zapisane że rząd macierzy ma być równy ilości zmiennych (tz. x,y,z) a że ich jest tutaj trzy to rząd macierzy powinnien wyjść 3 żeby generowały przestrzeń ale trafiłem na to zadanie:https://www.matematyka.pl/220626.htm i się troche pogubiłem. i z tego zadania wysnułem wniosek że rząd macierzy może być równy lub mniejszy od ilości zmiennych prawidłowy wniosek?

bark: Na zajęciach miałem zadanie polegające na sprawdzeniu czy wektory tworzą bazę A= {(1,1,2), (3,2,1)} Rząd macierzy wynosi 2 Mam zapisane że są liniowo niezależne ale nie tworzą przestrzeni więc nie są bazą Nie tworzą przestrzeni bo 2<3. Więc jak to w końcu jest?

jc: Wektory (1,1,2), (3,2,1) są liniowo niezależne. Wektory są tworzą bazę pewnej przestrzeni.

bark: ale żeby baza istniała to wektory muszą być liniowo niezależne i tworzyć przestrzeń tutaj tworzą?

jc: W zadaniu nie jest powiedziane o jaką przestrzeń chodzi. To tak, jakby spytać czy 7 jest rozwiązaniem równania. Jakiegoś równania na pewno, np. x=7. Wektory tworzą bazę przestrzeni V, jeśli są liniowo niezależne i rozpinają (generują) przestrzeń V.

bark: a jakby to była przestrzeń R² lub R³? To tworzą, tak? bo wektory ze zbioru A generują przestrzeń R² (dimR²=2)

jc: Nasze wektory należą do R³. Wektory (1,1,2), (3,2,1) nie rozpinają R³ (za mało tych wektorów). (1,1,0)=a(1,1,2) + b(3,2,1) a+3b=1 a+2b=1 2a+b=0 Dwa pierwsze równania dają a=1, b=0. Ale 2+0≠0. Czyli takich a,b nie ma. Wektora (1,1,0) nie wyrazimy przez wektory (1,1,2), (3,2,1). Wniosek: wektory (1,1,2), (3,2,1) nie są bazą R³.