granica Szwagier: Obliczyć granicę ciągu a_n=(√n²+2n−n)ⁿ

MikołajK: Najprościej jest rozwiązać problem nieco ogólniejszy, tj. przejść z przypadku dyskretnego ( zmienna n) do przypadku ciągłego ( zmienna rzeczywista x). Wtedy wyznaczenie szukanej granicy sprowadzi się ( po eksponencjacji ) do badania granicy ilorazowego wyrażenia nieoznaczonego, co można uczynić z reguły de l'Hôpitala, bądź przez odpowiednie szacowania. Otrzymuje się w rezultacie exp(−1/2).

jc:

	2n		2n
√n2+2n−n =		= 1 + (		− 1)
	√n2+2n+n		√n2+2n+n

	√n2+2n−n		2n
=1 −		= 1 −
	√n2+2n+n		(√n2+2n+n)2

	2
= 1 −
	n(√1+2/n+1)2

Dlatego a_n →e^−1/2.