part3 Dziadek Mróz: Zakładam nowy wątek #3

Qwe: ok

Pełcio: Ej dziadek, zepsułeś moją serie

Adamm:

	1
1) log√x2+x−5=2logx+log(		)
	x

2) 3^{log₂(x2−5x+7)}=1 przenoszę zadania Mili tutaj żeby tamten temat się tak nie ciągnął

Adamm: Pełcio, jaka jest definicja logarytmu?

Pełcio: no to tak ten pierwiastek ma być wiekszy od 0, ale że to jest pierwiastek to źle jesttylko wtedy kiedy to co pod nim jest równe 0 dobrze myślę?

Adamm: tak √x²+x−5≥0 a równość zachodzi jedynie gdy x²+x−5=0

Pełcio: Logarytmem liczby b przy podstawie a nazywamy taką liczbę c, że a podniesione do potęgi c daje liczbę b. log_ab=c to a^c=b może być?

Adamm: to nie jest poprawna definicja ale już pomińmy założenia, i przypomnij sobie własności logarytmów

Pełcio: log√x²+x−5= 2log1 log√x²+x−5= log1 √x²+x−5= 1 czy to równanie jest sprzeczne?

Adamm: coś co musisz wiedzieć żeby rozwiązać te zadania (nie wiem czy już wiesz czy nie) to to że funkcja logarytmiczna log_a(x) gdzie a>0, a≠1, x>0 jest różnowartościowa, oraz e^x również

Adamm: źle log_ab+log_ac=log_a(b*c), tak ale tutaj jest ten wzór użyty błędnie

Pełcio: jest różnowartościowa czyli dla każdego argumentu wartość jest inna log√x2+x−5= logx <−−− tak lepiej?

Adamm: lepiej teraz skorzystaj z różnowartościowości funkcji

Adamm: i poza tym, pierwsze co powinieneś robić to założenia dla danego równania w tym przypadku x²+x−5>0 oraz x>0

Pełcio: √x²+x−5= x to do opuszczenia logarytmu potrzebna jest ta różnowartościowość?

Adamm: tak z równania sinx=sin(2x) nie wynika wcale x=2x bo sinx nie jest różnowartościowa więc do takich równań potrzebujemy różnowartościowości

Pełcio: czyli z założeń:

	1		√21
x∊(−		+		, +∞)
	2		2

x²+x−5= x x= 5(∊D) odp. x=5

Pełcio: x2+x−5= x²

Adamm: ok, teraz następne

Pełcio: 3^{log₂(x2−5x+7)}=1 x²−5x+7>0 → x∊ℛ nie mam pomysłu, pewnie trzeba jakoś dobrze tą 1 zapisać

Adamm: 3⁰

Pełcio: to ja myślałem nad jakmiś skomplikowanymi rzeczami a tu... log₂(x²−5x+7)= 0 i teraz nie jestem pewny, ale x²−5x+7= 1 x²−5x+6=0 (x−2)(x−3)=0 x=2 lub x=3

Adamm: ok

Pełcio: no to fajnie, dzięki

Adamm: mamy trójkąt o ramieniu a wyznacz trójkąt równoramienny o najwyższym polu

Adamm: "mamy trójkąt o ramieniu a" trójkąt równoramienny

Pełcio: mamy dane tylko tyle że 2 boki są równe? nie za mało?

Adamm: wystarczająco

5-latek: P=0,5*a²*sinα Ja bym sie teraz zastanowil nad kątem miedzy ramionami

Adamm: chyba za łatwe zadania wymyślam, bo wszyscy wiedzą o co chodzi

5-latek: Nie Adamm

Pełcio: sin(180−2x)= sin2x mam wyznaczyć to największe pole tak?

Adamm: pisz 180^o bo implikujesz że piszesz o radianach

Adamm: nie dostaniesz więcej pomocy bo zadanie byłoby zbyt łatwe jedyne co ci mogę powiedzieć to to że sinx jest funkcją ograniczoną

Pełcio: ale przecież nie da się podać tego największego pola

Adamm: da się dużo podpowiedział 5−latek

Pełcio: ciut mniej niż a² największe pole

Adamm: masz wyznaczyć dokładną wartość pola, kąt pomiędzy ramionami, kąty przy podstawie oraz podstawę

Pełcio:

a2√2
2

Pełcio: odwołuję to w trybie natychmiastowym, muszę pomyśleć

Adamm: nie jest to poprawna odpowiedź tak na zapas, powinieneś uzasadniać swoje odpowiedzi

Pełcio:

	1		a2		a2
P=		*a2*2sinxcosx=		*[(sinx+cosx)2−(sin2x+cos2x)]=		*[√22
	2		2		2

Pełcio:

a2		a2
	*[√22−1]=
2		2

Adamm: ok, pole już masz teraz jak chcesz wyznaczyć kąt i tak dalej

5-latek: Popowiedz np sin50^o= ...... sin 80^o= ....... sin90^o= .........

Adamm: ok, rozwiązanie jako że praktycznie rozwiązałeś

	1
P=		a2sinα
	2

sinα jest największy kiedy przyjmuje wartość jeden, czyli biorąc pod uwagę to że 0^o<α<180^o to α=90^o

	1
zatem P=		a2 oraz podstawa wynosi √2a, kąty przy podstawie 45o
	2

Pełcio: sin2x=1 x=90^o 45^o, 45^o

a		b
	=
sin45o		sin90o

	√2
b*		= a
	2

b= a√2

Pełcio: ha, zrobiłem to

Adamm: nie rozumiem czemu napisałeś x=90^o, taki x nie spełnia równania sin(2x)=1

Adamm: jesteś teraz przy ciągach? mam dla ciebie zadanie

	1
wykaż że ciąg an=(1+		)n jest rosnący
	n

Pełcio: kurcze, chyba nie zrozumiałem dobrze tych podwojonych sinusów, a mój sposób da się uratować?

Pełcio: jeszcze nie miałem ciągów, ale zobaczę co da się zrobić

Adamm: sam sposób byłby ok gdybyś zamiast x=90^o napisał x=45^o same rozważanie sin(2x) zamiast sin(x) wydaje mi się bezsensowne

jc: Kiedyś trafiłem na takie zadanie: Wykaż nierówność

	1		1
(1+		)n (1−		)k ≤ 1
	n		k

Adamm: ok ciąg jest rosnący jeśli a_n+1>a_n dla każdego n malejący jeśli a_n+1<a_n nierosnący jeśli a_n+1≤a_n niemalejący jeśli a_n+1≥a_n stały jeśli a_n+1=a_n porównując różnicę można łatwo wykazać jakiej monotoniczności jest ciąg jeśli ciąg jest dodatni to można porównać iloraz takiego ciągu

an+1
	>1 to ciąg jest rosnący
an

an+1
	<1 malejący
an

itd.

Pełcio: dla dowodu nie wprost: a_n<a_n−1

	n+1		n		n−1
(		)n< (		)n*
	n		n−1		n

próbowałem tak, ale nie widzę pomysłu żeby to skończyć, o ile taki istnieje

Pełcio: jc witam, trochę trudna się wydaje

jc: Pełcio, podpowiem, zadanie jest prostsze od dowodu, że ciąg (1+1/n)ⁿ jest rosnący, ale bez dalszych podpowiedzi łatwe nie jest.

Pełcio: Badam znak różnicy:

	n+2		n+1
(		)n+1− (		)n> 0
	n+1		n

noi się nabadałem

Adamm: zakładam że k, n∊ℕ₊ ciąg (1+1/n)ⁿ oraz (1−1/k)ⁿ są rosnące lim_{(n, k)→(∞, ∞)} (1+1/n)ⁿ(1−1/k)ⁿ = 1 zatem (1+1/n)ⁿ(1−1/k)ⁿ≤1 a nawet (1+1/n)ⁿ(1−1/k)ⁿ<1

jc: Przy potęgach (iloczynach) warto patrzeć na ilorazy.

Pełcio: No właśnie Adamm, co ja zrobiłem.. Czyli to trochę podobne do wykazywania że funkcja jest rosnąca

Adamm: oczywiście wszędzie miało być (1−1/k)^k

Pełcio: lim(n, k)→(∞, ∞) (1+1/n)ⁿ(1−1/k)ⁿ = 1 tego niestety nie rozumiem

jc: Adamm, drugi ciąg jest rosnący ze względu na k i malejący ze względu na n. Granica (1−1/k)ⁿ zależy od sposobu przejścia do granicy.

Adamm: Pełcio, nie skupiaj się na tym miałeś udowodnić że ciąg (1+1/n)ⁿ jest rosnący

Adamm: jc, tak, pomyliłem się pisząc (1−1/k)ⁿ, miało być (1−1/k)^k

Pełcio: hmm.. ale tak sobie myślę, że to powinno dać się zrobić dowodem nie wprost, czy nie da się?

jc: Teraz w porządku. Jednak najpierw trzeba wykazać monotoniczność odpowiednich ciągów, co jest dość kłopotliwe. Można prościej.

Pełcio: to pokaż jc, może akurat mi bardziej posmakuje

Pełcio: Czyli Twoje zadanie jc to jest to samo tylko udowodnić, że jest nierosnący?

jc: Moje zadanie pokazuje co najwyżej, że ciąg (1+1/n)ⁿ jest ograniczony. Udowodnienie, że ciąg (1+1/n)ⁿ jest trudniejsze. Więc warto próbować.

Pełcio: eh, troszkę trudne macie te zadania Panowie, jak na to że nie robiłem ciągów jeszcze

jc: Jutro dam wskazówkę do mojego zadania. Dziś nie chcę psuć zabawy.

jc: Pełcio, ciągi nie mają tu znaczenia. Chodzi o nierówności. Nie wiem, jak trudne jest moje zadanie. Dowód zobaczyłem równocześnie z treścią zadania.

Pełcio: Zobaczyłeś to znaczy, że od razu wiedziałeś jak to zrobić, czy był napisany obok?

Adamm: idę spać bo jutro się nie wyrobię

Pełcio: To co mamy udowodnić to u Adamma przedostatnia linijka. Dobranoc i dziękuję za zadanka i pomoc

jc: Nie pamiętam. Mogło być tak: ... i w ten sposób dostajemy nierówność ...

	1		1
Zadanie Adamma: (1+		)n−1 < (1+		)n.
	n−1		n

Dobranoc

Pełcio: Ok, ja też muszę iść spać chyba, bo już nie kontaktuję, a jutro idę na matme do szkoły, nie ma że ferie.. Dobrej nocy i też dziękuję jc.

5-latek: jesli mamy ciag a_n= (1+1/n)ⁿ to nie mozemy bezposrednio stwierdzic czy jest rosnacy czy malejacy bo z ewzrostem wykladnika odstawa potegi maleje Po rozwinieciu na dwumian Newtona otrzymamy

	1		1		2
1+1+		*(1−n)+		*(1−n)(1−		)+......+
	2!		3!		n

1

1

k−1

1

1

n−1

(1−

)....(1−

)+

(1−

).....(1−

)

k!

n

n

n!

n

n

Teraz gdy od x_n przejdziemy do x_n+1 (inaczej gdy zwiekszymy n o jednosc , to pojawi sie nowy (n+2) −gi dodatni wyraz a kazdy z juz napisanych wyrazow sie zwiekszy bo dowolny

	s
czynnik w nawiasach (1−		zastepujemy wiekszym czynnikiem
	n

	s
1−
	n+1

Mamy wiec a_n+1>a_n czyli coag jest ciagiem rosnacym

jc: Znów nauczyłem się czegoś nowego. Dziękuję 5−latku Rachunek znałem jako element dowodu, że ∑1/n! = lim (1+1/n)ⁿ. Nie zwróciłem uwagi na to, że pokazuje on monotoniczność.

5-latek: Dobry wieczor jc Pozdrawiam

Pełcio: Trochę trudne