Zadanie analiza - całki , siła rozciągania sprężyny, praca FiluŚ: Potrzebuję pomocy z zadaniem − Analiza matematyczna. Zadanie jest powiązane z całkami ale nie wiem jak je zrobić. Proszę o pomoc (a) Siła rozciągania sprężyny jest wprost proporcjonalna do jej wydłużenia (współczynnik pro− porcjonalności wynosi k). Obliczyć pracę jaką należy wykonać, aby sprężynę o długości l rozciągnąć do długości L. (b) Zbiornik ma kształt walca o osi poziomej. Średnica walca D = 2m, a długość L = 6m. Ob− liczyć pracę, jaką potrzeba wykonać, aby opróżnić zapełniony całkowicie wodą zbiornik. Otwór do opróżnienia zbiornika znajduje się w jego górnej części. Masa właściwa wody = 1000 kg/m3.

g: a) W = ∫₀^L−l F dx = ∫₀^L−l kx dx = k{L−l}²/2 (x = wydłużenie sprężyny) b) W = ∫₀^D g ρ S(h) h dh h − odległość od lustra wody do otworu g = 9.81 m/s² ρ = 1000 kg/m³ S(h) = L*2*√R²−(h−R)² (powierzchnia lustra wody, R = D/2)

FiluŚ: A może mi to ktoś ładnie rozpisać , rozwiązując ? To dla mnie ważne , bo muszę to zadanie jutro zaprezentować przy tablicy, a jeszcze słabo operuję całkami.

g: Praca to siła razy przesunięcie W=F*x. Tak można liczyć jedynie gdy siła cały czas jest stała. Jeśli siła zmienia się w trakcie ruchu, czyli F=F(x), to trzeba pracę liczyć sumując małe porcje F(x)*Δx. Tym dokładniej policzymy im mniejsze odcinki Δx będziemy brali. W granicy Δx→0 takie sumowanie przybiera postać całki oznaczonej W = ∫_x1^x2F(x)*dx Poczytaj o całce oznaczonej, oraz o tym jak całkę oznaczoną można wyznaczyć znając całkę nieoznaczoną, czyli t.zw. funkcję pierwotną. W przykładzie a) F(x) = k x, co prowadzi do całki ∫_x1^x2 k x dx. Całka nieoznaczona to y(x) = ∫kxdx = kx²/2 + C. Całkę oznaczoną liczymy tak: W = y(x2) − y(x1). W przykładzie b) całkę należy przekształcić do postaci ∫x √1−x² dx i w tablicach znaleźć dla niej funkcję pierwotną.

FiluŚ: g Dziękuję Ci bardzo. Już rozumiem ! Jestem bardzo wdzięczny.