Wzory Taylora i Maclaurina Tomek: Cześć, potrzebuję pomocy z dwoma zadaniami: Zad.1 Napisać wzory Maclaurina z n−tą resztą Lagrange`a dla funkcji:

	x
f(x)=sin		oraz
	3

Zad.2 Oszacować dokładności podanych wzorów przybliżonych na wskazanych przedziałach:

	π
tg≈x |x|≤
	12

	x		x2
√1+x≈1+		−		|x|≤0,25
	2		8

W zad. 1 wyliczyłem pochodne, policzyłem wartości w xo=0 i nie potrafię zapisać tego wzoru (wiem tyle, że trzeba zauważyć jak się zachowuje dla parzystych i nieparzystych pochodnych, ale nie potrafię tego przenieść na papier) W zad.2 Potrzebuję, aby ktoś rozwiązał te przykłady, abym zrozumiał schemat działania.

Adamm: zd. 1

	x
wzór Taylora dla x0=0 będzie taki sam jak sinx, po prostu zamiast x wstawiasz
	3

Tomek: W zad.1

	1		x		1
f1(x)=		cos		f1(0)=
	3		3		3

	1		x
f2(x)=−		sin		f2(0)=0
	9		3

	1		x		1
f3(x)=−		cos		f3(0)=−
	27		3		27

	1		x
f4(x)=		sin		f4(0)=0
	81		3

	1		x		1
f5(x)=		cos		f5(0)=
	243		3		243

f(0)=0 Teraz powinienem zapisać ten wzór, tylko jak

	1		1	x3
f(x)=0+		x+0−			+0+...
	3		27	3!

Adamm: powiedziałem ci najpierw zapisz wzór dla cosx

	x
potem w miejsce x wstawiasz		, masz swój wzór
	3

Adamm: sinx, przepraszam

piotr:

	(x/3)2n+1
sin(x/3) = ∑n=0∞
	(2n+1)!

Tomek: Policzyłem tak jak powiedziałeś, faktycznie w ten sposób można sobie oszczędzić zachodu w liczeniu pochodnych, tylko problem leży w tym, że ja nie potrafię napisać tego wzoru, albo jestem idiotą albo nie widzę banalnej rzeczy

	x3		xn
f(x)=0+x+0−1		+0+...+−fn(c)
	3!		n!

piotr: n−ta reszta Lagrange`a:

	fn+1(θx)
rn(x) =		xn+1, 0<θ<1,
	(n+1)!

Tomek:

	1	x3
Twój wzór piotrze nie sprawdza się dla n=1, powinno wtedy być −			a tutaj jest
	27	3!

	1	x3
+
	27	3!

Prosiłbym jeszcze o rozwiązanie dwóch przykładów w zadaniu 2, mam już mętlik w głowie, a potrzebuję jutro już potrafić to rozwiązywać.

piotr: fakt, zgubiłem czynnik (−1)²ⁿ⁺¹