kombinatoyka
szwager: . Ile jest liczb naturalnych, nieposiadających zera w zapisie dziesiętnym, dla których suma
cyfr równa się 11 ?Da się to jakoś uogólnić, be wypisywania wszytskiego
?
17 sty 16:03
wmboczek: Dla dowolnej dużej sumy (>9) robi się problem, dla 11 do przejścia jeszcze
między 11 elementów można w 10 miejscach wstawić elementy dzielące na cyfry
C(10,1) − liczby 2 cyfrowe
C(10,2) liczby 3 cyfrowe
...
C(10,10) liczba 11 cyfrowa z samych jedynek
suma to 210−3 przypadki (C(10,0) i dwa skrajne z C(10,1) 1A i A1 )
17 sty 16:23
Kamil: 2,2,2,2,2,1 ? Nie łapie.
17 sty 16:38
szwager: Dlaczeg wybieramy z 10 a nie z 9 ?
17 sty 17:38
Mila:
Zastosowanie kombinacji z powtórzeniami.
1) Rozwiązujemy równanie :
x
1+x
2=11 i x
i>0 i x
i≤9 w zbiorze N
x
1+1+x
2+1=11 ograniczenie dolne:
x
1+x
2=9
10−2=8 liczb dwucyfrowych [odejmujemy 2 rozwiązania x
1=1 i x
2=10 oraz x
1=10 i
x
2=1]
2) x
1+x
2+x
3=11 i takie same ograniczenia
x
1+1+x
2+1+x
3+1=11
x
1+x
2+x
3=8
| | | |
= | =45 liczb trzycyfrowych , ograniczenie górne uwzględnione |
| | |
3) x
1+x
2+x
3+x
4=11 i i x
i>0 i x
i≤9 w zbiorze N
x
1+1+x
2+1+x
3+1+x
4+1=11⇔
x
1+x
2+x
3+x
4=7
4) x
1+x
2+x
3+x
4+x
5=11
x
1+1+x
2+1+x
3+1+x
4+1+x
5+1=11
x
1+x
2+x
3+x
4+x
5=6
Widzę uogólnienie:
| | | |
[∑(k=1 do 10) | ]−2=210−1−2=1024−3=1021 |
| | |
17 sty 18:00
szwager: A dlaczego odejmujemy te przypadki a nie dodajedmy/.
17 sty 18:00
Mila:
Masz odjęte przypadki , bo 10 nie jest cyfrą .
17 sty 18:04
szwager: Milu stosujesz tutaj kombinacje z powtórzeniami?
17 sty 18:04
Mila:
Tak, przecież napisałam, a potem uogólniłam po liczbach pięciocyfrowych ,
bo zauważyłam pewną prawidłowość.
Przeczytaj uważnie moje rozwiązanie i pytaj czego nie rozumiesz.
17 sty 18:07
szwager: Chyba nie do końca rozumiem o co chodzi z tym ograniczeniem dolnym i górnym.
17 sty 18:09
Mila:
x
i>0, bo cyfry różne od zera, x
i ≤9 bo zbiór cyfr to {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Równanie np.:
x
1+x
2+x
3= 11 ma w zbiorze liczb całkowitych nieujemnych
| |
rozwiązań, ale nam chodzi o rozwiązania bez zera, to można zastosować wzór: |
| |
albo doprowadzić do sytuacji, jak to zrobiłam, że już na pewno otrzymam rozwiązania, gdzie
x
i≥1.
Napisałam nowe równanie, powinnam inaczej nazwać niewiadome;
y
1+y
2+y
3=8 i już nie ma możliwości, że x
i=0 x
i będzie >9.
Nie miałeś takich równań na ćwiczeniach?
17 sty 18:20
szwager: Pierwszy raz się z tym spokałem twoim rozwiązaniu. Bardzo ciekawe.
17 sty 18:26
Mila:
No cóż, nie jest mi wiadomo , jaki teraz masz przerabiany zakres materiału.
Kolega
wmboczek, od razu zauważył , że trzeba zsumować :
Poproś to zilustruje.
17 sty 18:37
szwager: Już zrozumiałem, dziękuje za pomoc. Pozdrawiam
17 sty 18:44
Mila:
17 sty 18:57
