całka rekurencyjna janusz: Wyprowadź wzory rekurencyjne: ∫ x^α lnⁿ xdx, n ∈ N; ∫ sinⁿ xdx, n ∈ N;

	xn
∫		dx, n ∈ N;
	√x2+1

jc: J_n = ∫sinⁿ x dx = − ∫ sinⁿ⁻¹ x (cos x)' = − sinⁿ⁻¹ x cos x + (n−1) ∫sinⁿ⁻²x cos² x dx = − sinⁿ⁻¹ x cos x + (n−1) ∫sinⁿ⁻²x (1−sin² x) dx = − sinⁿ⁻¹ x cos x + (n−1)(J_n−2 − J_n) Stąd J_n = ...

jc:

	1
∫xa (ln x)n dx =		∫ (xa+1)' (ln x)n dx =
	a+1

1
	( xa+1 (ln x)n − n ∫xa (ln x)n−1 dx)
a+1

Stąd ...

jc: ∫xⁿ (1+x²)^−1/2 dx = ∫xⁿ⁻¹ ((1+x²)^1/2 )' dx = = xⁿ⁻¹ (1+x²)^1/2 − {n−1} ∫xⁿ⁻²(1+x²)^1/2 dx = xⁿ⁻¹ (1+x²)^1/2 − {n−1} ∫xⁿ⁻²(1+x²)(1+x²)^−1/2 dx Dalej podobnie jak we wcześniejszych przykładach.

Benny: Zastanawia mnie fakt kto takie coś pamięta.

janusz: wow dzięki

czeko: czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć w jaki sposób są rozwiązane te całki? nie rozumiem tego

Adamm: czeko, przez części

czeko: nie rozumiem co on robi skąd tam się bierze nagle (cosx)'?

czeko: czy ∫sinⁿxdx = J_n mogę pozostawić w postaci

	−cosx*sinn−1x + (n−1)Jn−2
Jn =
	n

czy muszę obliczyć J_n−2?

jc: Wzór z powyższego wpisu, to właśnie szukany wzór rekurencyjny. Gdybyś chciał obliczyć J₇, musiałbyś wcześniej policzyć J₅, co wymagałoby policzenia J₃, co z kolei wymagałoby znajomości J₁. Ostatnią całkę musisz policzyć bezpośrednio. Faktycznie liczysz odwrotnie. J₁, J₃, J₅, J₇. Bardzie znany przykład. Wzór rekurencyjny określający aⁿ: aⁿ = a*aⁿ⁻¹, n≥1 a⁰ = 1

czeko: a jeśli n jest parzyste?

czeko: jeszcze mam pytanie co do ∫x^a lnⁿxdx jak postać ∫x^a*lnⁿ⁻¹xdx doprowadzić do ∫x^a lnⁿxdx

jc: to kończysz na J₀. Faktycznie dla nieparzystych n jest zupełnie łatwo. ∫sin²ⁿ⁺¹ x dx = − ∫sin²ⁿx (cos x)' dx = −∫(1−c²)ⁿ dc, c=cos x

Weteran: Drogi janusz, widze ze jc wymiękł. Biorac pod uwage jakich calek nie jest w stanie rozwiazac chyba ja bede musial pomóc