szereg Adamm: zadanie dla Jack

	sin(n)
wykaż że szereg ∑n=1∞		jest zbieżny
	n

Jack: sin n ≤ n zatem

sin n		n
	≤		= 1
n		n

∞

	n
∑		= 1 czyli jest zbiezny.
	n

n=1 zatem

sin n
	z KP rowniez jest zbiezny...
n

gdzie jest haczyk?

Adamm: kryterium porównawcze możemy stosować jedynie dla szeregów o wyrazach dodatnich, a ∑_n=1^∞ 1 jest rozbieżny jako suma jedynek, 1+1+1+1+1+...

Jack: tak, fakt, ze to suma jedynek czyli rozbiezny. eh.. czyli leibnitz i zbieznosc bezwzgledna...

jc: Jack, to zbieżny, czy rozbieżny? nie suma jedynek, tylko ∑ (sin n)/n.

Adamm: ok, podpowiedź kryterium Dirichleta

Adamm: a, i szereg jest zbieżny warunkowo, to trzeba zaznaczyć, więc nie ma się co męczyć

Jack:

	1
∑ sin(n) *		= an * bn
	n

sin(n) jest ograniczony, − 1 ≤ sin(n) ≤ 1

	1
oraz		jest monotoniczny (rosnacy) i zbiezny do zera, bo
	n

	1
lim		= 0
	n

n−>∞ no to z kryterium Dirichleta szereg a_n * b_n jest zbiezny. o to chodzilo?

Adamm: tak, ale to nie jest kompletne nie chodzi o samo ograniczenie sin(n), a o ograniczenie sin(1)+sin(2)+...+sin(n) (ciąg sum częściowych ma być ograniczony)

Adamm:

	1
i		jest malejący
	n

Jack: ahh, nie mysle juz...faktycznie 1/n jest malejacy. co do tego szeregu... to nie wiem jak to wykazac. tak wlasciwie to pierwszy raz w zyciu korzystam z kryterium Dirichleta.

Adamm: ok, może nie znasz wzoru na

	cos(x/2)−cos[(n+1/2)x]
sin(x)+sin(2x)+sin(3x)+...+sin(nx)=
	2sin(x/2)

teraz staję się oczywiste że sumy częściowe sin(1)+...+sin(n) są ograniczone, zatem na mocy kryterium Dirichleta szereg jest zbieżny

Jack: a nie kojarzylem tego wzoru... ale byc moze z zespolonym to mozna jakos w miare szybko?

Adamm: udowodnić? to się właśnie tak udowadnia

Jack: czemu nie ?

Jack: albo lepiej jakies wskazowki a ja sprobuje? : )

jc: Wzór na sumę sin kx? z=cos x + i sin x 1 + z + z² + ... + zⁿ = ...

Jack: hmm, nie czaje z = cosx + isinx z²=cos(2x)+isin(2x) z³=cos(3x)+isin(3x) itd a czy sin(x) + sin(2x) + sin(3x) + ... = cosx+isinx+cos(2x)+isin(2x)+cos(3x)+isin(3x)+... ?

jc: Część rzeczywista to suma kosinusów, część urojona to suma sinusów. Znasz wzór na sumę geometryczną. Porównujesz i masz.

Jack: a no jak wezme Im to faktycznie sie zgadza. im(cos(x)+isin(x)+cos(2x)+isin(2x)+cos(3x)+isin(3x)+...) = sinx+sin(2x)+sin(3x)+...

	1 − zn		1−cos(nx)−isin(nx)
im(1+z+z2+z3+...+zn) = im(		) = im(		) =
	1 − z		1−cosx−isinx

	−sin(nx)		sin(nx)
=		=
	−sinx		sinx

cos chyba skopalem

Jack: oczywiscie powinno byc

	1−zn		z − zn+1
im(z+z2+...+zn) = im(z *		) = im(		) =
	1−z		1−z

	sinx − sin(x(n+1))		x−xn−x   x+xn+x   2 sin cos   2   2
=		=		=
	−sinx		−sinx

	−xn   2x+xn   2sin cos   2   2		xn   2x+xn   2sin cos   2   2
=		=		=
	−sinx		sinx

?

Adam: Źle wyznaczyłeś część urojoną