Udowadnianie różnowartościowości funkcji kwadratowej Krzysiek: Czy istnieje jakaś metoda w miarę uniwersalna przy sprawdzaniu różnowartościowości funkcji kwadratowej lub wyższego stopnia metodą definicji f(x₁)=f(x₂) ⇒ x₁ = x₂ ? Bo troszkę się zagubiłem przy sprawdzaniu f(x) = −x²+2x+1.

Adamm: f(a)=f(b) −a²+2a+1=−b²+2b+1 −(a−1)²+2=−(b−1)²+2 (a−1)²=(b−1)² |a−1|=|b−1| a−1=b−1 lub a−1=−b+1 a=b lub a=−b+2 czyli jeśli f(a) ma jakąś wartość to ma ją również f(−a+2), funkcja nie jest różnowartościowa np. f(0)=1, f(2)=1

Adamm: zresztą, żadna funkcja kwadratowa nie jest różnowartościowa

Krzysiek: Racja, tylko zapomniałem dodać, że mam jeszcze przedział x∊<1;∞). Mógłbyś, jeszcze pokazać jak go stosujesz ? Bo ja udowodniłem to po prostu przez delte, miejsca zerowe i wykresik.

Adamm: to zakładasz że a≥1 oraz b≥1 i od razu masz |a−1|=|b−1| a−1=b−1 a=b i funkcja jest różnowartościowa

Krzysiek: no tak, przecież skoro jest większe od zera to wynik wartości bezwględnej jest tylko jedne −,− chyba, za długo się już uczę xd Wielkie dzięki za pomoc

Krzysiek: a mógłbyś jeszcze rozwiązać f(x) = 2^x − 2⁻x ? bo graficznie wyszło mi, że jest różnowartościowa, rosnąca, ale nadal nie wiem jak to zrobić tą metodą wymienioną wyż.

Adamm: f(a)=f(b) 2^a−2^−a=2^b−2^−b 2^2a+b−1=2^2b+a−1 2^2a+b=2^2b+a powołując się na różnowartościowość funkcji wykładniczej 2a+b=2b+a a=b zatem funkcja jest różnowartościowa

Adamm: pomyliłem się troszeczkę 2^2a+b−2^b=2^2b+a−2^a 2^2a+b+2^a=2^2b+a+2^b 2^a(2^a+b+1)=2^b(2^a+b+1) 2^a=2^b lub 2^a+b+1=0 teraz korzystając z różnowartościowości funkcji wykładniczej mamy a=b więc funkcja jest różnowartościowa

Krzysiek: a mógłbyś troszkę bardziej rozpisać część przed 2⁽2a+b)−1=2⁽2b+a)−1 ? Bo nie mam pojęcia skąd to wziąłeś

Adamm: 2^a−2^−a=2^b−2^−b \*2^a2^b 2^2a+b−2^b=2^2b+a−2^a to jest właśnie ta część przy której się pomyliłem, kontynuowałem w pości 16:22

Krzysiek: Wielkie dzięki