Oblicz pochodna z definicji Paulina: Korzystając z definicji oblicz pochodną funkcji:

	1
f(x) =		, gdzie x≠kπ
	sinx

Adamm:

	1   1   − sin(x+Δx)   sinx		sinx−sin(x+Δx)
limΔx→0		= limΔx→0		=
	Δx		sinxsin(x+Δx)Δx

	2sin(−Δx/2)cos(x+Δx/2)
=limΔx→0		=
	sinxsin(x+Δx)Δx

	sin(Δx/2)cos(x+Δx/2)		cosx
=limΔx→0−		= −
	sinxsin(x+Δx)(Δx/2)		sin2x

Adamm:

	x+y		x−y
użyłem wzoru na sumę sinusów sinx+siny=2sin(		)cos(		)
	2		2

	sinx
oraz granicy specjalnej limx→0		= 1
	x

Mariusz:

	1   1   − sin(x+Δx)   sin(x)
limΔx→0		=
	Δx

	sin(x)−sin(x+Δx)   sin(x+Δx)sin(x)
limΔx→0
	Δx

	sin(x)−(sin(x)cos(Δx)+cos(x)sin(Δx))   sin(x+Δx)sin(x)
limΔx→0
	Δx

	sin(x)(1−cos(Δx))−cos(x)sin(Δx))   sin(x+Δx)sin(x)
limΔx→0
	Δx

	1−cos(Δx)	sin(x)
limΔx→0
	Δx	sin(x+Δx)sin(x)

	sin(Δx)	cos(x)
−limΔx→0
	Δx	sin(x+Δx)sin(x)

	1−cos(Δx)
limΔx→0
	Δx

Tutaj możesz albo przejść na funkcje trygonometryczne kąta połówkowego a jedynkę zapisać w postaci jedynki trygonometrycznej albo rozszerzyć ułamek tak aby w liczniku dostać różnicę kwadratów i móc cosinusa zamienić na sinusa

	1−cos(Δx)		(1−cos(Δx))(1+cos(Δx))
limΔx→0		=limΔx→0
	Δx		Δx(1+cos(Δx))

	1−cos(Δx)		sin2(Δx)
limΔx→0		=limΔx→0
	Δx		Δx(1+cos(Δx))

	1−cos(Δx)		sin(Δx)	sin(Δx)
limΔx→0		=limΔx→0
	Δx		Δx	1+cos(Δx)

	1−cos(Δx)
limΔx→0		=0
	Δx

	1−cos(Δx)	sin(x)
limΔx→0
	Δx	sin(x+Δx)sin(x)

	sin(Δx)	cos(x)
−limΔx→0			=
	Δx	sin(x+Δx)sin(x)

	sin(Δx)	cos(x)
−limΔx→0
	Δx	sin(x+Δx)sin(x)

	cos(x)
=−
	sin2(x)