Geometria analityczna punkt wspólny okręgów Sawyer: Mam takie pytanie hipotetyczne. Bo nie do końca rozumiem dlaczego gdy mam dwa równania okręgów, przykładowo: (x − a)² + (y − b)² = r² (x − c)² + (y − d)² = v² I wiem że są na przykład styczne wewnętrznie, mają jeden punkt wspólny, to tworząc układ równań z równań tych okręgów, wyjdzie mi funkcja liniowa na której tenże punkt przecięcia leży. Ja wiem, należy później dzięki równaniu tej prostej na przykład wyznaczyć zależność x do y i podstawić pod któreś równanie okręgu tak aby otrzymać współrzędne punktu przecięcia. Zastanawia mnie jednakże inna rzecz: Czemu na samym początku po wyliczeniu układu równań dostaję funkcję liniową, czyli tak na prawdę zbiór nieskończenie wielu punktów, skoro w układzie równań znajduje punkt wspólny ich obu ergo konkretny punkt. Bo w zależności od przypadku (tu akurat mówię o okręgach stycznych więc 1 punkt), takich punktów jest 0,1 lub 2. Więc czy układ równań nie powinien znaleźć konkretnych liczb X i Y spełniających oba równania? Taki przykład: (x − 3)² + (y + 4)² = 8 oraz (x − 2)² + (y + 3)² = 2 Okręgi styczne wewnętrznie w punkcie D:(1,−2) po rozwinięciu tego i odjęciu stronami zostaje mi −x + y + 3 = 0 Wiem że teraz podstawiam do któregoś okręgu (prościej jednak do drugiego ) i zostaje mi funkcja kwadratowa 2(x−1)² = 0 x0 = 1 y = x − 3 − > y = −2 Tylko skąd funkcja liniowa w układzie dwóch równań z dwiema niewiadomymi. Nie rozumiem czemu została mi funkcja liniowa zamiast wartości liczbowych. Mógłby mi ktoś pomóc rozwikłać tę zagadkę, z góry dziękuje, mam zapewne jakieś błędne założenia i bardzo bym prosił o ich naprawę

Adamm: wychodzi ci nieskończenie wiele punktów, ok ale czy te punkty są rozwiązaniami? no nie układ równań "implikuje" że mamy taką a nie inną zależność między iksem a igrekiem implikuje, czyli jeśli mamy taki układ równań to musimy mieć i coś takiego jak rozwiązujesz na przykład jakieś równanie, nie myśląc przy tym, że może wyjść parę więcej rozwiązań, też masz implikację, że mamy to, to musi być to rozwiązując układ równań bazujesz jedynie na wnioskach, a to musi być wnioskiem i w drugą stronę

Sawyer: Ah, chyba rozumiem, gdy przedstawię równania okręgów jako (x−a)² + (y−b) − r² = 0 i postawię znak równości pomiędzy tymi równaniami to dostanę zależność między X a Y tak jak mówisz, ponieważ nie uzależniłem od niczego Y bądź X. Więc one uzależniają się wzajemnie względem tego układu. Gdybym jakimś cudem stworzył równania z identycznymi współczynnikami przy Y² i Y to ta zmienna została by usunięta ponieważ użyta by była w takiej samej "ilości" w obu równaniach, tak że dostałbym zależność X od liczby −> wartość X. No dalej to już z górki −> jeśli mam zależność X i Y to należy sprawdzić dla jakich wartości jest ona również spełniona w równaniu okręgu. Dobrze rozumuje? A tak trochę od tematu, znasz może Adamm jakiś sposób na szybsze wyznaczenie punktów przecięcia okręgów posiadając ich równania? I dziękuje za odpowiedź

Adamm: liczysz odległość od ich środków, i porównujesz do sumy/różnicy promieni, masz zależność myślę że dobrze rozumujesz

Adamm: to znaczy, wyznaczasz tak ile ich jest jeśli chcesz wyznaczyć same wartości to raczej nie ma na to sposobu

Sawyer: Tylko że znów aby wyznaczyć dokładne współrzędne tych punktów przecięcia (bo o to mi głównie chodzi, o dokładne wartości X i Y tych punktów), znów będę musiał podstawić tę zależność do ich równań. No cóż, chyba nie ma innego sposobu. Ale dziękuje bardzo i za odpowiedź i za naprostowanie myślenia