Wykaż że miejsca zerowe są w przedziale [-5,5] KakaowyJohny: a) x³ − x + 2 b) 2^x − 2^−x c) 3^x−1 + 4^1−x +2x −5

Adamm: a) f(x)=x³−x+2 f(−5)=−118, f(5)=122 zatem na mocy tw. Bolzano−Cauchy'ego istnieje taki c∊(−5;5) że f(c)=0 b) f(x)=2^x−2^−x f(−1)=−3/2, f(1)=3/2 zatem na mocy tw. Bolzano−Cauchy'ego istnieje taki c∊(−1;1) że f(c)=0 c) 3^x−1+4^1−x+2x−5 f(1)=−1, f(0)=2 zatem na mocy tw. Bolzano−Cauchy'ego istnieje taki c∊(0;1) że f(c)=0

Adamm:

	1
c) źle policzyłem f(0), weź zamiast tego f(−1)=57
	9

Mariusz: W a) oraz b) możesz je stosunkowo łatwo wyznaczyć a) x=u+v u³+3u²v+3uv²+v³−(u+v)+2=0

	1
u3+v3+2+3(u+v)(uv−		)=0
	3

u³+v³+2=0

	1
3(u+v)(uv−		)=0
	3

u³+v³=−2

	1
uv=
	3

u³+v³=−2

	1
u3v3=
	27

	1
t2+2t+		=0
	27

	78
(t+1)2−		=0
	81

	√78		√78
(t+1−		)(t+1+		)=0
	9		9

	9−√78		9+√78
(t+		)(t+		)=0
	9		9

	27−3√78		27+3√78
(t+		)(t+		)=0
	27		27

	1
x=−		(3√27−3√78+3√27+3√78)
	3

Pozostałe pierwiastki są zespolone można je znaleźć dzieląc wielomian przez dwumian albo korzystając z pierwiastków trzeciego stopnia z jedynki Gdy znajdziemy u₁ oraz v₁ spełniające układ równań u³+v³=−2

	1
uv=
	3

to pozostałe pierwiastki możemy znaleźć korzystając z pierwiastków trzeciego stopnia z jedynki e^2iπ/3, e^4iπ/3 b) 2^x=t

	1
t−		=0
	t

t2−1
	=0
t

t²−1=0 (t+1)(t−1)=0 2^x=1 x=0