ekstrema funkcji 4 zmiennych
matematyk: Takie zadanko, suma czterech liczb rzeczywistych wynosi 2, suma ich kwadratów wynosi 28, jaka
jest najmniejsza i największa możliwa wartość sumy sześcianów tych 4 liczb?
14 sty 00:47
g:
S
1=2, S
2=28
Spróbuję mnożnikami Lagrange'a
f = S
3 = a
3+b
3+c
3+d
3
g
1 = a+b+c+d−S
1 = 0
g
2 = a
2+b
2+c
2+d
2−S
2 = 0
3a
2+λ
1*1+λ
2*2a = 0
3b
2+λ
1*1+λ
2*2b = 0
3c
2+λ
1*1+λ
2*2c = 0
3d
2+λ
1*1+λ
2*2d = 0
Widać że każda z liczb a,b,c,d ma spełniać to samo równanie kwadratowe, więc mogą
przyjmować tylko jedną z dwóch wartości. Możliwe są zatem kombinacje:
1) a=b=c=d: (widać od razu że to nie możliwe)
2) a=c, b=d:
b = (S
1−2a)/2
| | S1 ± √4S2−S12 | |
S2 = 2a2+2b2 = 2a2+2(S1−2a)2/4 a,b = |
| |
| | 4 | |
| | S1(6S2−s12) | |
S3 = 2a3+2b3 = |
| = 41 |
| | 8 | |
3) a=c=d, b
b = S
1−3a
| | 3S1 ± √12S2−3S12 | |
S2 = 3a2+b2 = 12a2−6S1a+S12 a = |
| |
| | 12 | |
| | 3S1 ± 3*√12S2−3S12 | |
b = |
| (jak w a jest + to w b jest −) |
| | 12 | |
| | 108S1(12S2−2S12) ± 6*(√12S2−3S12)3 | |
S3 = 3a3+b3 = |
| = 41±112 |
| | 123 | |
A więc S
3min = 41−
112, S
3max = 41+
112
14 sty 20:06
g: rąbnąłem się w końcówce w liczeniu, powinno być: S3min=20.75, S3max=61.25
14 sty 20:13
jc: Przy okazji, Ribenboim w książce Wielkie twierdzenie Fermata na str. 356
rozważa podobny problem, tyle że n wymiarowy.
U niego S1 = 0, S2 = n(n−1).
Autor również wykorzystuje mnożniki Lagrange'a.
14 sty 20:19