Proszę o pomoc: obliczenie Morten: miejsc zerowych wielomianu :: 2x³−3x²−36x−8

M:

Podstawy Geometrii: W chwili obecnej sa programy do obliczania takich równań

Mariusz: 2x³ − 3x² − 36x − 8 =0 8x³ − 12x² − 144x − 32 = 0 (2x − 1)³ = 8x³ − 3*4x²*1 +3*2x*1² − 1³ (2x − 1)³ = 8x³ − 12x² + 6x − 1 (2x − 1)³ − 75(2x−1) = (8x³ − 12x² + 6x − 1) − (150x − 75) (2x − 1)³ − 75(2x−1) = 8x³ − 12x² − 144x + 74 (2x − 1)³ − 75(2x−1) − 106 = 0 2x − 1 = y y³ − 75y − 106 = 0 y = u + v (u+v)³ −75(u+v) − 106 = 0 u³+3u²v+3uv²+v³ −75(u+v) −106 = 0 u³ + v³ − 106 +3(u+v)uv − 75(u+v) = 0 u³ + v³ − 106 + 3(u+v)(uv − 25) = 0 u³ + v³ − 106 = 0 3(u+v)(uv − 25) = 0 u³ + v³ − 106 = 0 uv − 25 = 0 u³ + v³ = 106 uv = 25 u³ + v³ = 106 u³v³ = 15625 t² − 196t + 15625 = 0 (t − 53)² − 2809 + 15625 = 0 (t − 53)² + 12816 = 0 (t − 53)² + 144*89 = 0 (t − 53 − 12i√89)(t − 53 + 12i√89) = 0 u³ = 53 + 12i√89 v³ = 53 − 12i√89 u = ³√53 + 12i√89 v = ³√53 − 12i√89

	1		12√89
u = (√2809+144*89)1/3*(cos(		arctg(		)) + i
	3		53

	1		12√89
sin(		arctg(		)))
	3		53

	1		−12√89
v = (√2809+144*89)(1/3)*(cos(		arctg(		)) + i
	3		53

	1		12√89
sin(		arctg(−		)))
	3		53

	1		12√89		1		12√89
u = 5(cos(		arctg(		)) + i sin(		arctg(		)))
	3		53		3		53

	1		12√89		1		12√89
v = 5(cos(		arctg(		)) − i sin(		arctg(		)))
	3		53		3		53

	1		12√89
u + v = 10cos(		arctg(		))
	3		53

	1		12√89
y = 10cos(		arctg(		))
	3		53

	1		12√89
2x − 1 = 10cos(		arctg(		))
	3		53

	1		12√89
2x = 1 + 10cos(		arctg(		))
	3		53

	1		1		12√89
x =		(1 + 10cos(		arctg(		)))
	2		3		53

	1		12√89		1		12√89
u1 = 5(cos(		arctg(		)) + i sin(		arctg(		)))
	3		53		3		53

	1		12√89		1		12√89
v1 = 5(cos(		arctg(		)) − i sin(		arctg(		)))
	3		53		3		53

Niech ε = e^2πi/3 u₂ = ε u₁ ∧ v₂ = ε² v₁ u₃ = ε² u₁ ∧ v₃ = ε v₁

	1		12√89		1		12√89
u1 = 5(cos(		arctg(		)) + i sin(		arctg(		)))
	3		53		3		53

	1		12√89		1		12√89
v1 = 5(cos(		arctg(		)) − i sin(		arctg(		)))
	3		53		3		53

	1		12√89		1		12√89
u2 = 5(cos(		arctg(		)) + i sin(		arctg(		)))
	3		53		3		53

	2π		2π
*(cos(		) + i sin(		))
	3		3

	1		12√89		1		12√89
v2 = 5(cos(		arctg(		)) − i sin(		arctg(		)))
	3		53		3		53

	4π		4π
*(cos(		) + i sin(		))
	3		3

	1		12√89		1		12√89
u3 = 5(cos(		arctg(		)) + i sin(		arctg(		)))
	3		53		3		53

	4π		4π
*(cos(		) + i sin(		))
	3		3

	1		12√89		1		12√89
v3 = 5(cos(		arctg(		)) − i sin(		arctg(		)))
	3		53		3		53

	2π		2π
*(cos(		) + i sin(		))
	3		3

	1		12√89		1		12√89
u1 = 5(cos(		arctg(		)) + i sin(		arctg(		)))
	3		53		3		53

	1		12√89		1		12√89
v1 = 5(cos(		arctg(		)) − i sin(		arctg(		)))
	3		53		3		53

	1		12√89		1		12√89
u2 = 5(cos(		(arctg(		)+2π)) + i sin(		(arctg(		))+2π))
	3		53		3		53

	1		12√89		1		12√89
v2 = 5(cos(		(arctg(		)−4π)) − i sin(		(arctg(		))−4π))
	3		53		3		53

	1		12√89		1		12√89
u3 = 5(cos(		(arctg(		)+4π)) + i sin(		(arctg(		))+4π))
	3		53		3		53

	1		12√89		1		12√89
v3 = 5(cos(		(arctg(		)−2π)) − i sin(		(arctg(		))−2π))
	3		53		3		53

	1		12√89
y2 = 10cos(		(arctg(		)+2π))
	3		53

	1		12√89
2x2 − 1 = 10cos(		(arctg(		)+2π))
	3		53

	1		1		12√89
x2 =		(1 + 10cos(		(arctg(		)+2π)))
	2		3		53

	1		12√89
y3 = 10cos(		(arctg(		)+4π))
	3		53

	1		12√89
2x3 − 1 = 10cos(		(arctg(		)+4π))
	3		53

	1		1		12√89
x3 =		(1 + 10cos(		(arctg(		)+4π)))
	2		3		53

	1		1		12√89
x1 =		(1 + 10cos(		arctg(		)))
	2		3		53

	1		1		12√89
x2 =		(1 + 10cos(		(arctg(		)+2π)))
	2		3		53

	1		1		12√89
x3 =		(1 + 10cos(		(arctg(		)+4π)))
	2		3		53

Aby uniknąć zabawy z zespolonymi można skorzystać z tego że cos(3θ) = 4cos³(θ) − 3cos(θ)

kalkulator: rozwiązanie po 15 latach, 3 miesiącach i 17 dniach