Wykazać następującą tożsamość trygonometryczną Mikołaj: Witam. Na kolokwium z liczb zespolonych miałem takie zadanie:

	ctg3x−3ctgx
Wykaż następującą tożsamość trygonometryczną: ctg3x=		. Próbuję to
	3ctg2−1

rozwiązać ze wzoru de Moivre'a albo ze wzoru Eulera i za każdym razem kończę na niczym. Z góry dziękuję za pomoc.

Adamm:

	cos(3x)		cos3x−3cosxsin2x
ctg(3x)=		=		=
	sin(3x)		3cos2xsinx−sin3x

	cos3x   cosx   −3 sin3x   sinx
=		=
	cos2x   3 −1   sin2x

	ctg3x−3ctgx
=
	3ctg2x−1

cos(3x) oraz sin(3x) można obliczyć licząc (cosx+isinx)³

Mila:

	cos3x
ctg(3x)=
	sin3x

sin(3x)≠0 (cosx+i sinx)³= cos(3x)+i sin(3x) wzór de Moivrea, teraz lewą policzymy ze wzoru (a+b)³ L=cos³x+3*cos²x*i*sinx+3*cosx*i²*sin²x+i³sin³x= =cos³x+3sinxcos²x*i−3sin²xcosx−isin³x= =(cos³x−3sin²xcosx)+i*(3sinxcos²x−sin³x)⇔ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−⇔ cos(3x)+i sin(3x)=(cos³x−3sin²xcosx)+i*(3sinxcos²x−sin³x)⇔ cos(3x)=(cos³x−3sin²xcosx) i sin(3x)=(3sinxcos²x−sin³x)

	cos(3x)		(cos3x−3sin2xcosx)
⇔		=
	sin(3x)		(3sinxcos2x−sin3x)

dzielimy licznik i mianownik przez sin³x

	ctg3x−3ctgx
=
	3ctg2−1