Zadanka z konkursów licealnych :) Pełcio: 1. Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich a,b,c spełniających warunek

1		1		1
	+		+		=3 prawdziwa jest nierówność:
ab		bc		ac

ab+bc+ac≥3. 2. Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich a, b, c spełniających warunek √a+√b+√c=3, prawdziwa jest nierówność:

1		1		1
	+		+		≥3.
√c		√b		√c

3. Wykaż, że liczba 3+3²+3³+3⁴+....+3⁹⁰ jest podzielna przez 4,7,13. <−−− interesuje mnie przez 7, 4 i 13 już wiem 4. Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich a, b, c, d zachodzi: a⁴+b⁴+c²+d ≥ 2*⁴√8*√abcd Chętnie przyjmę też same wskazówki, bo chcę się po prostu nauczyć robić takie zadania

jc: x+1/x ≥ 2 dla x > 0. 1/a/b + 1/b/c + 1/c/a + ab+bc+ca ≥ 6 1/a/b + 1/b/c + 1/c/a = 3 z założenia a więc ab+bc+ca ≥ 3.

relaa: 2. Wykorzystując nierówność pomiędzy średnimi

3		√a + √b + √c		3
	≤		=		= 1
1   1   1   + + √a   √b   √c		3		3

1   1   1   + + √a   √b   √c
	≥ 1
3

1		1		1
	+		+		≥ 3
√a		√b		√c

Adamm: 3. 3(1+3²)+3²(1+3²)+...+3⁸⁸(1+3²)=7(3+3²+...+3⁸⁸)

Adamm:

	1   1   1   1   1   1   a4+b4+ c2+ c2+ d+ d+ d+ d   2   2   4   4   4   4
4.		≥
	8

	1
≥		8√a4b4c4d4
	24√2

Krzysiek: Adamm, 3²+1=7 ?

Pełcio: Kurczę, to ja tu myślę nad tym a wy w 20 minut wszystko.... 1,2 ogarniam, 3− w nawiasach nie jest czasem 10? 4 słabo dziękuję wszystkim

Adamm: 3+3⁴+3²+3⁵+...+3⁸⁷+3⁹⁰=3(1+3³)+3²(3+3³)+...+3⁸⁷(1+3³)= =28(3+...+3⁸⁷)

Adamm: tam w nawiasie masz grupy po trzy 3+3²+3³+3⁷+3⁸+3⁹+3¹³+...+3⁸⁷

relaa: Zadanie 4 to nic innego jak nierówność pomiędzy średnimi AM − GM. a⁴ + b⁴ + c² + d =

	1		1		1		1		1		1
a4 + b4 +		c2 +		c2 +		d +		d +		d +		d
	2		2		4		4		4		4

Zatem,

1   1   1   1   1   1   a4 + b4 + c2 + c2 + d + d + d + d   2   2   4   4   4   4
	≥
8

	1		1		1		1		1		1
(a4 • b4 •		c2 •		c2 •		d •		d •		d •		d)1/8.
	2		2		4		4		4		4

Pełcio: Wszystko jasne, dzięki raz jeszcze

Pełcio: Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których prosta o równaniu y=(m−3)x+m+2 przecina parabolę o równaniu y=x²+(2m+2)x+m+6 w dwóch różnych punktach o pierwszych współrzędnych x₁,x{2} spełniających warunek x₁²+x₂²≤17. Proszę o luknięcie, czy to może tak wyglądać, bo nie ma odpowiedzi do tego: (m−3)x+m+2 = x²+(2m+2)x+m+6 x²+(2m+2)x−(m−3)x+4=0 x²+x(2m+2−m+3)+4=0 x²+(m+5)x+4=0 z zał. x₁²+x₂²≤17, więc: (x₁+x₂)²−2x₁x₂≤17 m²+10m+25−8≤17 m²+10m≤0 m(m+10)≤0 m∊<−10,0>

relaa: To niepełna odpowiedź. Sprawdzę przykładowo dla m = −5. x² + (−5 + 5)x + 4 = 0 x² + 4 = 0

Pełcio: x²≠−4 to co tu może być nie tak?

relaa: Zapomniał Pan o warunku na istnienie dwóch różnych rozwiązań.

Pełcio: o kurcze m²+10m+9>0 Δ=100−36=64 m₁= −9 m₂= −1 m∊(−∞, −9) ∪ (−1,+∞) Z koniunkcji końcowy wynik to m∊ <−10, 9) ∪ (−1,0> teraz jest okej?

relaa: Teraz według mnie jest w porządku.

Pełcio: No teraz już chyba tak, dzięki!

Pełcio: Mam jeszcze takie luźne pytanko... Co to są średnie potęgowe? K>A>G>H <−−−− czy to jest coś innego niż to i może się przydać?