całki Marek: oblicz całkę nieoznaczoną ∫√6x−x² dx

jc: = ∫√9 − (x−3)² dx = 9∫√1−u² du x = 3u + 3 Dale można różnie np. u = sin t lub przez części, a ktoś zaraz zaproponuje podstawienie Eulera. Taka całka była ostatnio liczona wielokrotnie.

Mariusz: Przez części a potem sprowadź trójmian kwadratowy do postaci kanonicznej

Adamm: ∫√9−(x−3)²dx x−3=3sint dx=3costdt

	9		9		9
9∫cos2tdt =		∫ 1+cos(2t)dt =		t+		sin(2t)+c =
	2		2		4

	9		x−3		1
=		arcsin(		) +		(x−3)√9−(x−3)2+c
	2		3		2

jc:

	u2
∫√1−u2 du = ∫u' √1−u2 du = u √1−u2 du + ∫		du
	√1−u2

	1−(1−u2)
= u √1−u2 du + ∫		du
	√1−u2

= u √1−u² du + arcsin u − ∫ √1−u² du Stąd ∫√1−u² du = (u √1−u² du + arcsin u)/2

Mariusz: Podstawienie Eulera sprowadzi całkę jedynie do całki z funkcji wymiernej Podstawienie proponowane przez poprzednika wymaga liczenia całek z funkcji trygonometrycznej których to mogłeś jeszcze nie liczyć

Mariusz: ∫√6x−x²dx √6x−x²=xt 6x−x²=x²t² 6−x=xt² 6=x+xt² x(1+t²)=6

	6
x=
	1+t2

	6t
xt=
	1+t2

dx=6*(−1)(1+t²)⁻²*2tdt

	12t
dx=−		dt
	(1+t2)2

	72t2
−∫		dt
	(1+t2)3

Tę całkę liczysz przez części albo wydzielając część wymierną całki

Marek: sam bym na to nie wpadł dzięki

Mariusz: Całki postaci ∫R(x,√ax²+bx+c)dx sprowadzisz do całek z funkcji wymiernej podstawieniami 1. a>0 √ax²+bx+c=t−√ax 2. a<0 Tutaj możesz założyć że b²−4ac>0 w przeciwnym przypadku trójmian kwadratowy pod pierwiastkiem przyjmowałby tylko wartości ujemne Zapisujesz trójmian kwadratowy pod pierwiastkiem w postaci iloczynowej i podstawiasz √a(x−x₁)(x−x₂)=(x−x₁)t Te dwa podstawienia wystarczą ale jest jeszcze jedno podstawienie które czasem może dawać całkę wymagającą mniej obliczeń Możesz je zastosować gdy c>0 √ax²+bx+c=xt+√c