szereg potegowy ANDRZEJ: Wyznaczyc przedzial zbieznosci szeregu potegowego ∞

	xn
∑
	n+3

n=0 i nastepnie oblicz wartosc sumy dla x = 1/3

Jack:

	1
∑		* xn
	n+3

	1   n+3		n+4
lim |		| = lim		= 1 = R
	1   n+4		n+3

n−>∞ przedzial zbieznosci (−1;1) (teraz sprawdzimy, czy mozna domknac ten przedzial) dla x = 1 :

	1
∑		szereg rozbiezny.
	n+3

dla x = − 1 :

	(−1)n
∑
	n+3

Badamy zbieznosc bezwzgledna szeregu :

	(−1)n		1
|		| =		ten szereg jest rozbiezny,czyli o szeregu wyjsciowym nic nie wiemy.
	n+3		n+3

Zatem z Leibnitza :

	1
lim		= 0
	n+3

n−>∞ sprawdzamy czy ten ciag jest nierosnacy, tzn. a₁ ≥ a₂ ≥ a₃ ...

1		1		1
	≥		≥
4		5		6

widzimy, ze sie zgadza (tzn. ciag wyrazow szeregu jest nierosnacy),

	(−1)n
wniosek : Szereg −> ∑		jest zbiezny warunkowo (na mocy kryterium Leibnitza)
	n+3

Zatem nasz przedzial zbieznosci to <−1;1)

ANDRZEJ: OK ! za zbadanie zbieznosci dzieki ,ala jeszcze prosze o obliczenie sumy .

Jack: ∞

	1		1
∑ (		)n *
	3		n+3

n=0 Niestety ale poki co nie mam pomyslu. Na pewno ktos inny cos znajdzie!

Benny:

	xn		∫xn+2dx
Zauważ, że		=		dla x≠0
	n+3		x3

Adamm:

	1
x2+x3+x4+...=		*x2
	1−x

x3		x4		1
	+		+...=−		x2−x−ln(1−x)
3		4		2

1		x		1		1		ln(1−x)
	+		+...=−		−		−
3		4		2x		x2		x3

	1		1		3		21
stąd ∑n=0 (		)n		= 27ln(		)−
	3		n+3		2		2