granica ciągu Adamm: kolejne zadanie, mam nadzieję trudniejsze oblicz lim_n→∞ ⁿ√(1+1/n)(1+2/n)...(1+n/n) znam odpowiedź, to wyzwanie dla innych

Jack: lim ⁿ√1+¹_n * ⁿ√1+²_n * ... * ⁿ√1+ⁿ_n = 1*1*1*1*...*1 = 1 n−>∞ ?

Adamm: źle

Jack: co źle ?

Adamm: twoja granica, tam masz coraz większą liczbę liczb przez które mnożysz, wynik to nie 1

zef: limⁿ√e=0 n→∞

Jack: http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+n-%3Einf+((1%2B1%2Fn)(1%2B2%2Fn)(1%2B3%2Fn)*...*(1%2Bn%2Fn))%5E(1%2Fn)

zef: limⁿ√eⁿ=e A może tak ? n→∞

Adamm: ...

	4
wynik to
	e

wolfram też czasami kłamie

Jack: wolfram nie umie klamac

Adamm:

	4
jestem 100% pewien że wynik to
	e

wolfram pokazuje błędnie

Mariusz: Tylko Wolfram pokazuje błędnie Maple pokazuje dobrze

Mariusz: Jack co powiesz na to http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+n-%3Einf+(product(1%2Bk%2Fn,k%3D1..n))%5E(1%2Fn)

Jack: no dobra, mylilem sie, to jest dziwne. Zapewne trza to ugryzc jakos tak

	1		2		3		n
(1+		)(1+		)(1+		)*...*(1+		) =
	n		n		n		n

	n+1		n+2		n+3		n+n
=		*		*		* ... *		=
	n		n		n		n

	(n+1)(n+2)(n+3)...(n+n)
=		= ...
	nn

Adamm: można to zrobić wzorem Stirlinga chociaż to nie to jak otrzymałem tą granicę

Mariusz: I co masz jakiś pomysł np ograniczenie tego wyrażenia nierównościami z obydwu stron ? Można spróbować zlogarytmować i liczyć całką

Adamm: bierzemy logarytm, mamy

	ln(1+1/n)+ln(1+2/n)+...+ln(1+n/n)
limn→∞		= ∫12 ln(x) dx = 2ln2−1
	n

	4
stąd n√(1+1/n)...(1+n/n)→
	e

Adamm:

	(1+1/(n+1))...(1+(n+1)/(n+1))
limn→∞ n√(1+1/n)...(1+n/n) = limn→∞
	(1+1/n)...(1+n/n)

=

	2n+1	1		4
= limn→∞ 2			=
	n+1	1   (1+ )n   n		e

Kacper: Wolfram zazwyczaj nie kłamie, tylko nie rozumie to co wpiszecie.

Adamm: Kacper, skąd wiesz? wolfram zinterpretował wpis Jacka, co raczej znaczy że rozumie co prawda jeśli inaczej to napiszę, wynik dostaję dobry, ale to pewnie dlatego że algorytm jest inny, ale nie wiem, nie jestem programistą

Adamm: chyba że przez "nie rozumie" masz na myśli używa złego algorytmu, ale o to chodzi że powinien używać dobrego więc "kłamie"

Kacper: Średnio to zrozumiał, bo wystarczy drobna zmiana, i pomimo, że podaje że rozumie, to nie do końca jest to prawdą http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+n-%3Einf+%5B(1%2B1%2Fn)(1%2B2%2Fn)*...*(1%2Bn%2Fn)%5D%5E(1%2Fn)