problematyczna całka OLa123:

	3x2−5x+2
∫		dx=
	x3−2x2+3x−6

piotr:

	17 x − 1		4
=∫(		+		)dx
	7 (x2 + 3)		7 (x − 2)

OLa123: możesz wytłumaczyc skąd piotr tak zapisałeś i z czego to wynika ?

OLa123: i jeszcze mam taką

	2x+1
∫		dx
	(x2+1)2

piotr: x³−2x²+3x−6 = (x²+3)(x−2)

3x2−5x+2		Ax+B		C
	=		+
x3−2x2+3x−6		x2+3		x−2

(Ax+B)(x−2) + C(x²+3) = 3x²−5x+2 ⇒ (A+C)x² + (−2A+B)x−2B+3C = 3x²−5x+2 ⇒ (A+C)=3; (−2A+B)=−5; −2B+3C = 2 ⇒ A = 17/7, B = −1/7, C = 4/7

OLa123: dzięki bardzo

OLa123: pomógłby ktos jeszcze w tej drugiej całce?

Jerzy:

	2x		1
= ∫		dx + ∫		dx
	(x2 + 1)2		(x2 +1)2

Jerzy: Pierwsza przez podstawienie: x² + 1 = t

	1 + x2		x2		x
Druga: = ∫		dx − ∫		dx = arctgx − ∫x*		dx
	(1+x2)2		(1+x2)2		(1 + x2)2

.... i ostatnia przez części.

Jerzy:

	x
u = x v' =
	(1+x2)2

	1
u' = 1 v = −
	2(1+x2)

Mariusz:

	(2x+1)		a1x+a0		b1x+b0
∫		dx=		+∫		dx
	(x2+1)2		x2+1		x2+1

(2x+1)		a1(x2+1)−2x(a1x+a0)		b1x+b0
	=		+
(x2+1)2		(x2+1)2		x2+1

(2x+1)		a1(x2+1)−2x(a1x+a0)+(b1x+b0)(x2+1)
	=		dx
(x2+1)2		(x2+1)2

2x+1=a₁(x²+1)−2x(a₁x+a₀)+(b₁x+b₀)(x²+1) 2x+1=a₁x²+a₁−2a₁x²−2a₀x+(b₁x³+b₁x+b₀x²+b₀) 2x+1=b₁x³+(b₀−a₁)x²+(b₁−2a₀)x+(a₁+b₀) b₁=0 b₀=a₁ 2a₀=−2 2a₁=1

	1	x−2		1		dx
=			+		∫
	2	(x2+1)		2		x2+1

	1	x−2		1
=			+		arctan(x)+C
	2	(x2+1)		2

Mariusz: Tak jak pokazał Jerzy też można

piotr:

	2x		1
∫		= −		+ C
	(1+x2)2		1+x2

trik: w liczniku dodajemy i odejmujemy x² i mamy:

	1		1		x2
∫		dx =∫		dx−∫		dx=
	(1+x2)2		1+x2		(1+x2)2

	x
= arctgx − ∫x		dx
	( 1+x2)2

przez części:

	x		1		1
∫x		dx = x ( −		) +∫		dx =
	(1+x2)2		2(1+x2)		2(1+x2)

	x		1
= −		+		arctgx.
	2(1+x2)		2

relaa: To jeszcze jedne sposób na dokładkę.

	x2
∫		dx również można liczyć przez podstawienie
	(x2 + 1)2

x = tg(u) ⇒ dx = [tg²(u) + 1]du, wtedy otrzymamy całkę postaci

	tg2(u) • [tg2(u) + 1]
∫		du = ∫ tg2(u) • cos2(u) du = ∫ sin2(u) du =
	[tg2(u) + 1]2

	1		1		1		1
∫		du − ∫		cos(2u) du =		u −		sin(2u) + C =
	2		2		2		4

1		x
	tg(x) −		+ C
2		2(x2 + 1)

OLa123: super dzięki Wam raz jeszcze!

relaa:

	1		x
Oczywiście winno być na końcu		arctg(x) −		+ C.
	2		2(x2 + 1)

Mariusz: relaa tylko że funkcje trygonometryczne całkuje się później niż wymierne Pomysł Jerzego i ten co pokazałem jest ok

relaa: Przecież nie napisałem, że Państwa pomysł jest zły, zaprezentowałem inny i też poprawny.