geometria analityczna jwww: Mam problem zdowma zadanaiami. Napisanie równania prostej przechodzącej przez punkt A(2, 3, 1), ktora jest równoległa do płaszczyzny π : x − y + 7z − 1 = 0, i przecina prostą l w : x = 1 + 2t, y = −3 − 4t, z = 2t, t ∈ R I drugie: Dane są dwie proste l : x − 1 = y+4 3 = 1 − z oraz k : 4 − x = y − 1 = z+3 2 Sprawdzenie, czy proste l oraz k leżą w jednej płaszczyźnie. Znaleźć punkty wspólne obu prostych (o ile sa). Napisać równanie płaszczyzny zawierającej obie proste (o ile sie da).

Jack: 1) Napisanie równania prostej przechodzącej przez punkt A(2, 3, 1) Prosta zapisana parametrycznie bedzie wygladac tak : x = s₁ + 2 y = s₂ + 3 z = s₃ + 1 gdzie wektor kierunkowy prostej [s₁,s₂,s₃] ktora jest równoległa do płaszczyzny π : x − y + 7z − 1 = 0, czyli wektor normalny plaszczyzny [1,−1,7] Skoro rownolegla to wektory sa prostopadle czyli iloczyn skalarny = 0 [s₁,s₂,s₃] o [1,−1,7] = s₁ − s₂ + 7s₃ = 0 to jest nasze pierwsze rownanie s₁ − s₂ + 7s₃ = 0 i przecina prostą l w : x = 1 + 2t, y = −3 − 4t, z = 2t, t ∈ R tzn. ze spelniony jest uklad rownan {s₁ + 2 = 1 + 2t {s₂ + 3 = −3 − 4t {s₃ + 1 = 2t no i dokladamy nasze rownanie s₁ − s₂ + 7s₃ = 0 Rozwiaz.

Jack: oczywiscie tamten uklad ma tylko jedno rozw. (jeden punkt wspolny)

Mila: Treść niezbyt jasna. Jack w równaniu parametrycznym prostej nie napisałeś parametru. [P[JWW} W drugim zadaniu : jakie jest równanie pierwszej prostej? Druga prosta k: 4 − x = y − 1 = z+3 tak? Bo tam jeszcze jest dalej cyfra 2.

jwww: l : x − 1 = (y+4)/3 = 1 − z k : 4 − x = y − 1 = (z+3)/2

Mila: 2) Jeżeli proste przecinają się lub są równoległe i ich odległość równa 0 , to leżą w jednej płaszczyźnie. l:

x−1		y+4		z−1
	=		=
1		3		−1

k₁^→=[1,3,−1] wektor kierunkowy prostej l P₀=(1,−4,1)∊l x=1+t y=−4+3t z=1−t, t∊R k:

x−4		y−1		z+3
	=		=
−1		1		2

k₂^→=[−1,1,2] P₁=(4,1,−3)∊k x=4−s y=1+s z=−3+2s P₀P₁^→=[3,5,−4]

1		3
	≠		wektory kierunkowe nie są równoległe
−1		1

Sprawdzamy czy przecinają się 3 5 −4 1 3 −1 −1 1 2 w=0, proste przecinają się Rozwiązujemy układ równań: 1+t=4−s −4+3t=1+s 1−t =−3+2s t=3−s z (1) równania po podstawieniu: s=1 t=2 P=(3,2,−1) punkt przecięcia 2) Możemy napisać równanie płaszczyzny n^→=[1,3,−1] x[−1,1,2]=[7,−1,4] wektor normalny płaszczyzny π P=(3,2,−1)∊π π: 7*(x−3)−1*(y−2)+4(z+1)=0 π: 7x−y+4z−15=0 ================ posprawdzaj rachunki.

Jack: ano, i caly post do kosza ; /

Mila: Nie przejmuj się Jack, to trudne zadanie , jutro zrobimy? Dobranoc

Jack: Dobranoc