pochodna Metis: (sin²x)'= 2sinx*(sinx)' = 2sinx*cosx = sin2x ? Dla pewności

azeta:

Adamm: ok

Metis: W tym przykładzie nie mogę zastosować reguły Hospitala , prawda? http://prntscr.com/dsnzie Wychodzi ∞−∞

Adamm: możesz

Adamm:

sinx−1
cosx

Metis: Ale dopiero po sprowadzeniu do wspólnego mianownika ?

Metis: ok, po prostu zamieniam tg na iloraz sin / cos

KKrzysiek:

	sinx
tgx =
	cos

następnie pochodna z licznika i mianownika

KKrzysiek: @Metis, skąd bierzesz zadania?

Metis: http://prntscr.com/dso2j2

KKrzysiek: Dzięki

Metis: Potrzebujesz czegoś?

Metis: Jak załatwić taką granicę wymierną?

	2x+3x
lim
	3x+1

x−>oo próbuje zrobić to tak:

2x+3x+1−1		2x−1
	= 1+		ale nic z tego.
3x+1		3x+1

azeta:

3x((2/3)x+1)
	co przy x→∞ daje 1
3x(1+(1/3)x)

KKrzysiek:

2   3x(( )x+1)   3
1   3x( +1)   3x

KKrzysiek:

	2		2
Zauważ iż		jest mniejsze od 1, więc (		)x = 0
	3		3

Metis: Tak dokładnie Juz sobie wszystko przypominam. Dziękuje!

Metis: azeta co u Ciebie słychać?

Metis:

	cos5x   5*   5x
lim cos5x/cos3x =
	cos3x   3*   3x

x−> pi/2 ale

	cos5x
lim		=0
	5x

x−> pi/2

KKrzysiek:

5x
	*cosx
5x

KKrzysiek:

5x
	* cos5x =5x
5x

Metis: ? Próbuje Hospitalem ale tez nie wychodzi:

	cos5x		−5sin5x		5		5
lim		=		=		a odpowiedzi podają −
	cos3x		−3sin3x		3		3

x−>pi/2

KKrzysiek: Dąży do pi/2, więc wynik będzie ujemny

Mariusz:

sin(x)−1		(sin(x)−1)(sin(x)+1)
	=
cos(x)		cos(x)(sin(x)+1)

	−cos2(x)
=
	cos(x)(sin(x)+1)

	−cos(x)
=		→−1
	1+sin(x)

Można też zamienić na kąty połówkowe

Adamm:

	cos(5x)		−sin(5x−5π/2)
limx→π/2		= limx→π/2
	cos(3x)		sin(3x−3π/2)

taka mała podpowiedź

Metis: A czemu Hospitalem wychodzi błędy wynik?

Mariusz: Po co z Hospitala

	sin(x)
Zamień wzorami redukcyjnymi na sinusy i skorzystaj z granicy
	x

Mariusz: Bo do pochodnej możesz potrzebować tej granicy Licz pochodne granicami to zobaczysz kiedy taka sytuacja wystąpi

Adamm: a Hospitalem nie wychodzi bo nie wiesz ile to jest sin(5π/2) a ile sin(3π/2)

Metis: Przecież lim sinx=1 x−>pi/2 Wiemy, że (cos5x)'=−sin5x*(5x)'=−5sin5x Analogicznie (cos3x)'=−3sin3x

Metis: zonk lim sin5x = 1 x−>pi/2 lim sin3x = −1 x−>pi/2 Tutaj popełniam błąd.

Adamm: no właśnie o tym mówiłem

Metis: Dzięki wielkie

Metis: Jak szybko sprawdzić czy granica w takim przypadku wynosi −1 czy 1 ?

KKrzysiek: Rysunkiem

Metis: Nie dam rady na kolokwium rysunkiem

5-latek: Witaj Metis Kiedy masz kolokwium ?

Metis: 10

Adamm: lim_x→π/2 sin(5x) = sin(5π/2), z drugim analogicznie sin(5π/2) = sin(π/2) = 1 sin(3π/2) = sin(π−3π/2) = −sin(π/2) = 1 może być?

Mariusz:

	sin2(x+Δx)−sin2(x)
limΔx→0		=
	Δx

	(sin(x+Δx)−sin(x))(sin(x+Δx)+sin(x))
limΔx→0
	Δx

	sin(x+Δx)−sin(x)
limΔx→0		(sin(x+Δx)+sin(x))
	Δx

	sin(x+Δx)−sin(x)
limΔx→0		limΔx→0(sin(x+Δx)+sin(x))
	Δx

	sin(x+Δx)−sin(x)
2sin(x)limΔx→0
	Δx

	sin(x+Δx)−sin(x)
limΔx→0
	Δx

	sin(x)cos(Δx)+cos(x)sin(Δx)−sin(x)
limΔx→0
	Δx

	sin(x)(cos(Δx)−1)+cos(x)sin(Δx)
limΔx→0
	Δx

	cos(Δx)−1		sin(Δx)
limΔx→0sin(x)		+cos(x)
	Δx		Δx

	cos(Δx)−1		sin(Δx)
sin(x)limΔx→0		+cos(x)limΔx→0
	Δx		Δx

	cos(Δx)−1
Aby policzyć granicę limΔx→0
	Δx

możemy przejść na kąty połówkowe albo rozszerzyć przez taką jedynkę aby uzyskać wzór skróconego mnożenia

	cos(Δx)−1		sin(Δx)
sin(x)limΔx→0		+cos(x)limΔx→0
	Δx		Δx

	(cos(Δx)−1)(cos(Δx)+1)		sin(Δx)
sin(x)limΔx→0		+cos(x)limΔx→0
	Δx(cos(Δx)+1)		Δx

	−sin2(Δx)		sin(Δx)
sin(x)limΔx→0		+cos(x)limΔx→0
	Δx(cos(Δx)+1)		Δx

	−sin(Δx)	sin(Δx)
sin(x)limΔx→0			+
	1+cos(Δx)	Δx

	sin(Δx)
cos(x)limΔx→0
	Δx

=cos(x)

	sin2(x+Δx)−sin2(x)
limΔx→0		=2sin(x)cos(x)
	Δx

Metis: Mariusz mam tylko 45 min a to jeden przykład z kilku

Metis: Ale dzięki Przyda się.

Metis: Jasne Adam, dzięki.

2q: Mariusz, liczysz z definicji, to co ty policzyles w minute, ja to wzorami policze w 10 s.

Metis: Czy taki zapis liczenia jest jak najbardziej poprawny?

	sinx3*sinx7
lim		=
	sinx4*sinx6

x−>0

sinx3

x4

1

sinx7

x6

1

lim

*x3*

*

*

*x7*

*

=

x3

sinx4

x4

x7

sinx6

x6

x−>0

	x10
lim		=1
	x10

x−>0

	x10
Chodzi mi o ten przeskok do
	x10

Adamm: myślę że lepiej byłoby gdybyś napisał po prostu

	sinx3sinx7
limx→0		=
	sinx4sinx6

	sinx3	sinx7	x4	x6
=limx→0					= 1
	x3	x7	sinx4	sinx6

Metis:

Metis:

	cos3x−cos7x
lim
	x2

x−>0 Stosuję Hospitala: (cos3x−cos7x)'= 7sin(7x)−3sin(3x) (x²)'=2x

	cos3x−cos7x
lim		=
	x2

x−>0

	7sin(7x)−3sin(3x)
lim		=
	2x

x−>0

	sin7x   sin3x   7* *7x − 3* *3x   7x   3x
7sin(7x)−3sin(3x)=
	2x

	7sin(7x)−3sin(3x)
lim		=20
	2x

x−>0 ?

KKrzysiek: Tak

Mariusz: cos(3x)−cos(7x)=2sin(5x)sin(2x)

2sin(5x)sin(2x)		sin(5x)	sin(2x)
	=2			*5*2
x2		5x	2x

	sin(5x)		sin(2x)
=20		*
	5x		2x

jc: Mariusz, ale z taką granicą już tak łatwo nie pójdzie

	3 sin 5x − 5 sin 3x
limx →0
	x3

Adamm:

	3sin(5x)−5sin(3x)
limx→0
	x3

	(5x)3   (3x)3   3((5x)− )−5((3x)− )   3!   3!
limx→0		= −40
	x3

więc

	3sin(5x)−5sin(3x)
limx→0		= −40
	x3

jc: Właśnie tak

Mariusz:

	3sin(5x)−5sin(3x)
limx→0
	x3

t=3x

	3sin(15t)−5sin(9t)
limt→0
	27t3

sin(3x)=sin(x)cos(2x)+sin(2x)cos(x) sin(3x)=sin(x)*(cos²(x)−sin²(x))+2sin(x)cos(x)cos(x) sin(3x)=sin(x)*(1−2sin²(x))+2sin(x)(1−sin²(x)) sin(3x)=3sin(x)−4sin³(x)

	3(3sin(5t)−4sin3(5t))−5(3sin(3t)−4sin3(3t))
limt→0
	27t3

	9sin(5t)−15sin(3t)−12sin3(5t)+20sin3(3t)
limt→0
	27t3

	1		3sin(5t)−5sin(3t)		1		−12sin3(5t)+20sin3(3t)
=		limt→0		+		limt→0
	9		t		27		t3

	1		3sin(5t)−5sin(3t)
=		limt→0		+
	9		t

1		sin3(5t)		20sin3(3t)
	limt→0(−12*125		+20*27		)
27		(5t)3		(3t)3

	1		180		500
g=		g+		−
	9		9		9

	1		320
g=		g−
	9		9

9g=g−320 8g=−320 g=−40

	3sin(5x)−5sin(3x)
limx→0		=−40
	x3