AS:
Ekstrema funkcji wielu zmienmych
Dana jest funkcja z = f(x,y)
Warunek konieczny ekstremum w punkcie P(xo,yo)
f ’x (xo,yo) = 0 i f ’y (xo,yo) = 0
Warunek wystarczający
1. f’x(xo,yo) = 0 i f’y(xo,yo) = 0
2. W(xo,yo) = f ’xx(xo,yo)*f ’yy(xo,yo) – [f ’xy(xo,yo)]
2 > 0
przy czym
gdy f ’xx(xo,yo) < 0 w punkcie (xo,yo) maksimum lokalne
gdy f ’xx(xo,yo) > 0 w punkcie (xo,yo) minimum lokalne
Jeśli W(xo,yo) = 0 przypadek wątpliwy,badać osobno
Jeśli W(xo,yo) < 0 w punkcie (xo,yo) brak ekstremum
Zad.1
| | 1 | | x | |
f'x = √y − 2*x + 6 f'y = x* |
| − 1 = |
| *y−1/2 − 1 |
| | 2√y | | 2 | |
Rozwiązuje układ równań
√y − 2*x + 6 = 0
x − 2*
√y = 0 ⇒ x = 2*
√y wstawiam do pierwszego równania
√y − 4*
√y + 6 = 0 ⇒ 3*
√y = 6 ⇒
√y = 2 ⇒ y = 4
x = 2*
√4 = 2*2 = 4
xo = 4 , yo = 4
| | x | | −1 | | −x | | 1 | |
f'xx = −2 f'yy = |
| * |
| *y−3/2 = |
| f'xy = |
| |
| | 2 | | 2 | | 4*y*√y | | 2*√y | |
| | −4 | | −1 | | 1 | |
f'xx(4,4) = −2 f'yy(4,4) = |
| = |
| f'xy(4,4) = |
| |
| | 4*4*√4 | | 8 | | 4 | |
Sprawdzam warunek konieczny
| | −1 | | 1 | | 1 | | 1 | | 3 | |
W = f'xx*f'yy − f'xy2 = (−2)*( |
| } − ( |
| }2 = |
| − |
| = |
| > 0 |
| | 8 | | 4 | | 4 | | 16 | | 16 | |
Istnieje ekstremum , tylko jakie
f'(4,4) = −2 < 0 zachodzi maksimum
Wartość ekstremum
f(4,4) = 4*
√4 − 4
2 − 4 + 6*4 + 2 = 8 − 16 − 4 + 24 + 2 = 14
Punkt ekstremalny znajduje się w P(4,4,14)