Algebra Omikron: Witam, chciałbym prosić o pomoc w dwóch zadaniach. Zad 1. Napisać równanie parametryczne prostej zawartej w płaszczyznach x₁−x₂−x₃=1 ∧ 2x₁+x₂+3x₃=6 Z odpowiedzi wynika, że zadanie sprowadza się do rozwiązania układu równań. Dlaczego? Zad 2. Znaleźć wszystkie elementy wspólne zbioru V i odcinka o końcach e₁ i e₂, gdzie e₁=[1 0 0 0]^T, e₂=[0 1 0 0]^T oraz V={x∊R⁴:x₁−2x₂−2x₄=0 ⋀ x₁=x₃}

g: 1) Dlatego bo x1,x2,x3 prostej muszą spełniać oba równania płaszczyzn. 2) Odcinek to zbiór punktów {x∊R⁴: x₁=1−t ⋀ x₂=t ⋀ x₃=x₄=0, t∊[0;1]} Warunek x₃=x₄=0 powoduje, że zbiór V redukuje się do punktu [0 0 0 0]^T. Ten punkt nie należy do odcinka, więc odpowiedź że nie ma punktów wspólnych.

Omikron: Dziękuję bardzo. Mam jeszcze jedno zadanie. Zad 3. Wyznaczyć bazę i wymiar przestrzeni liniowej L(a,b,c,d) generowanej przez wektory a=( 1 0 −1 −1)^T, b=(2 1 −1 0)^T, c=(0 1 1 2)^T, d=(1 2 1 3)^T Wymiar mogę obliczyć poprzez wrzucenie wszystkich wektorów w jedną macierz i znalezienie rzędu, ale co do bazy nie mam pojęcia.

Li: x₁−x₂−x₃=1 ∧ 2x₁+x₂+3x₃=6 x₃=t, t∊R x₁−x₂=t+1 2x₁+x₂=6−3t −−−−−−−−−−−−−−⇔ 3x₁=7−2t

	7		2
x1=		−		t
	3		3

	4		5
x2=		−		t
	3		3

x₃=t

g: 3) Jeśli wyjdzie pełny wymiar, czyli 4, to wektory a,b,c,d mogą stanowić bazę. Jeśli wymiar będzie mniejszy, to trzeba odrzucić niepotrzebny wektor (wektory), a pozostałe, już liniowo niezależne, mogą stanowić bazę.

Omikron: I wszystko jasne, jeszcze raz dziękuję