Dowód algebraiczny Piotr: Proszę o podpowiedź jak rozwiązać to zadanie. Wykaż że dla dowolnych liczb nieujemnych a i b i takich że a² + b² = 4 zachodzi nierówność ab/(a+b+2) ≤ √2−1

relaa: Wykorzystując nierówność pomiędzy średnimi.

√a2 + b2		a + b		√a2 + b2
	≥		∧		≥ √ab
√2		2		√2

2√2 ≥ a + b ∧ 2 ≥ ab

ab		2		2(√2 − 1)
	≤		=		= √2 − 1
a + b + 2		2(√2 + 1)		2

g:

	ab		a+b
Przekształcając a2+b2=4 łatwo dojść do tego:		=		−1.
	a+b+2		2

Punkt (a,b) leży na okręgu o promieniu 2, więc można go sparametryzować kątem a = 2cosα, b = 2sinα α ∊ [0; π/2] a+b = 2(cosα+sinα) = 2√2sin(α+π/4) a+b ≤ 2√2

Piotr: Dziękuję bardzo za oba rozwiązania

Adamm:

	ab		2
relaa skąd wniosek że		≤		?
	a+b+2		2√2+1

nie wynika to wcale z tego co napisałaś

Adamm:

2
2√2+2

relaa: Jak nie wynika? Wolał bym poczekać z opinią kogoś innego. Z nierówności ze średnich otrzymujemy 2√2 ≥ a + b ∧ 2 ≥ ab.

	ab		2
Teraz wyrażenie		szacujemy i mamy, że jest to nie większe niż
	a + b + 2		2√2 + 2

jako, że ab ma największą wartość równą 2 natomiast a + b wartość 2√2 przy warunku a² + b² = 4 i nieujemności a oraz b.

Adamm: nie wynika, czemu miałoby wynikać

1		1
	≥
a+b+2		2√2+2

Adamm:

	a		d		c		b
a>b>0 i c>d>0 nie wynika wcale		>		bo wtedy byłoby także		>
	c		b		a		d

czyli ab>cd oraz cd>ba, sprzeczność

relaa:

a + b
	≤ √2
2

a + b + 2 ≤ 2√2 + 2

1		1
	≥		oraz √ab ≤ √2 ⇒ ab ≤ 2
a + b + 2		2√2 + 2

Mnożąc stronami

ab		2
	≤		.
a + b + 2		2√2 + 2

relaa: Widzę teraz błąd w swoim rozumowaniu. W takim razie wystarczy wykorzystać jak napisał

	ab		a + b
Pan g		=		− 1 i ze średnich.
	a + b + 2		2

Adamm:

relaa: Teraz chyba jest w porządku.

2		√a2 + b2
	≤		= √2
1   1   + a   b		√2

2ab
	≤ √2
a + b

a + b
	≥ √2
ab

a + b + 2		2
	≥ √2 +
ab		ab

	2
√ab ≤ √2 ⇒ ab ≤ 2 ⇒		≥ 1
	ab

a + b + 2		2
	≥ √2 +		≥ √2 + 1
ab		ab

ab		1		1
	≤		≤		= √2 − 1
a + b + 2		2   √2 +   ab		√2 + 1