FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Dominik: Dobry wieczór Znacie jakieś sposoby na łatwiejsze zapamiętanie wszystkich wartości kątów (90, 270, 330, 225 itp.). Niby mam to wszystko zobrazowane w głowie ale jest to bardzo uciążliwe i czasochłonne

Adam: Mi raczej przydałby się sposób na zapamiętanie tych wszystkich wzorków z całek nieozn.

Adamm: Adam, wzorów na całki nieoznaczone jest bardzo dużo, wszystkich byś nie zapamiętał a i tak musisz myśleć bo wykładowca czasami wymaga robienia bez gotowych wzorów

Adam: Trzymaj , miłego niezapamiętywania https://pl.wikibooks.org/wiki/Matematyka_dla_liceum/Trygonometria/Wzory_redukcyjne

Adam: @Adamm, zgadza się. Niestety jakąś tam sprawność muszę nabrać w ich liczeniu, czasochłonne, ale innego rozwiązania nie ma.

Adamm: Adam, te całki które przerabiasz akurat są z tych łatwiejszych, niektóre są na prawdę potworne (tzn. jest wiele liczenia, a jeśli się pomylisz to wszystko od nowa )

Mariusz: Zawsze możesz sprowadzić kąt do przedziału <0,90> wystarczy znać kilka wzorów redukcyjnych

Mariusz: Co do całek do proponuję w ten sposób 0. Wiadomości wstępne takie jak Funkcja pierwotna funkcja podcałkowa itp 1. Podstawowe metody całkowania a) liniowość całki nieoznaczonej b) całkowanie przez części c) całkowanie przez zamianę zmiennej Jakieś łatwe przykłady Przy całkowaniu przez części nie zapominajmy o wyprowadzaniu wzorków redukcyjnych dla całek 2. Całkowanie funkcji wymiernych Gdy stopień licznika jest większy od stopnia mianownika dzielisz licznik przez mianownik Gdy mianownik ma w rozkładzie pierwiastki wielokrotne (mogą być zespolone) to możesz wydzielić część wymierną całki

	R(x)		R1(x)		R2(x)
∫		dx=		+∫		dx
	M(x)		M1(x)		M2(x)

M₁(x)=NWD(M(x),M'(x)) M(x)=M₁(x)M₂(x) deg R₁(x)<deg M₁(x) deg R₂(x)<deg M₂(x) NWD wielomianów możesz policzyć nawet bez rozkładu wielomianu na czynniki wystarczy brać kolejne reszty z dzielenia Liczniki znajdujesz metodą współczynników nieoznaczonych Gdy stopień licznika jest mniejszy od stopnia mianownika oraz mianownik ma pierwiastki pojedyncze Stosujesz rozkład na sumę ułamków prostych Niech M₂(x)=(x−a₁)(x−a₂)*...*(x−a_k) (x²+p₁x+q₁)(x²+p₂x+q₂)*...*(x²+p_mx+q_m)

	R2(x)		A1		A2		Ak
∫		dx=∫		dx+∫		dx+...+∫		dx
	M2(x)		x−a1		x−a2		x−ak

	B1x+C1		B2x+C2
+∫		dx+∫		dx
	x2+p1x+q1		x2+p2x+q2

	Bmx+Cm
+...+∫		dx
	x2+pmx+qm

Gdy w rozkładzie mianownika występuje trójmian kwadratowy nierozkładalny nad R zapisujesz go w postaci kanonicznej 3. Całki z funkcji niewymiernych (z pierwiastkami) Całkowanie różniczki dwumiennej ∫x^m(a+bxⁿ)^pdx m,n,p ∊ℚ p ∊ℤ t^s=x s=NWW(m,n)

m+1
	∊ℤ
n

t^s=(a+bxⁿ) s mianownik liczby p

m+1
	+p ∊ℤ
n

	a+bxn
ts=
	xn

s mianownik liczby p Całka z pierwiastka z trójmianu kwadratowego 1. a>0 √ax²+bx+c=t−√ax 2. a<0 Tutaj możesz założyć że b²−4ac>0 w przeciwnym przypadku trójmian kwadratowy pod pierwiastkiem przyjmowałby tylko wartości ujemne Zapisujesz trójmian kwadratowy pod pierwiastkiem w postaci iloczynowej i stosujesz podstawienie √a(x−x₁)(x−x₂)=(x−x₁)t Wyznaczasz z podstawienia x,√ax²+bx+c Różniczkujesz x aby otrzymać dx 4 ∫R(e^x)dx Podstawienie samo się narzuca t=e^x Do tej postaci można sprowadzić całki R(cosh(x),sinh(x)) 5 ∫R(cos(x),sin(x))dx

	x
Tutaj działa podstawienie t=tan(		+φ)
	2

gdzie φ=const Jeżeli używaliśmy podstawień Eulera to pasujące podstawienie bez problemu sami wymyślimy 6. Całkowanie przez rozwinięcie w sumę szeregu oraz sprowadzanie całek do znanych funkcji nieelementarnych