Caaałki Paweł : Zwracam sie z takim pytaniem. Jak rozwiazac calki takiego typu:

	t2
∫		dt
	√t2+3/4

Adamm: https://www.matematyka.pl/33970.htm przedstawione jest całkowanie różniczek dwumiennych, czyli na przykład takich

	Wn(x)		1
inny sposób ∫		dx=Wn−1(x)√ax2+bx+c−A∫		dx
	√ax2+bx+c		√ax2+bx+c

liczymy pochodną z obu stron i dopasowujemy współczynniki, W_n(x) to wielomian stopnia n

	1
inny sposób podstawienie pod funkcję tryg. korzystając z tg2x+1=
	cos2x

inny sposób, przez części i może się coś skróci lub dojdziesz do tej samej całki, po czym można dodać stronami inny sposób, skorzystać z jednego z podstawień Eulera i obliczyć całkę z wielomianu wymiernego pewnie jest jeszcze więcej

Paweł : Dziekuje za pomoc, coś sprobuje pokombinowac

jc: A może tak? Zamieńmy 3/4 na 1 (to nieistotny szczegół).

	s
t =
	√1−s2

	t2		s2
∫		dt = ∫		ds
	√t2+1		(1−s2)2

Może to najgorszy sposób, może w rachunku są błędy, ale wygląda ciekawie.

Paweł : Wydaje mi sie ze.ten drugi.sposob.jest najszybszy. To W_n−1 to pochodna?

Paweł : I co znavzy to 'A' we wzorze?

Adamm: A to stała W_n−1 jest wielomianem stopnia n−1 (o niewiadomych współczynnikach) w tym przypadku stopnia 1

Paweł : A jak ogolnie nazywa sie ten wzór, zasada?

Adamm: metoda współczynników nieoznaczonych lub wzór Ostrogradskiego może jest więcej nazw, ja znam te

jc: Najszybszy sposób, to spytanie komputera. Ja bym podstawił t = sh u (3/4 zamieniam na 1, tylko psuje estetykę zadania). Wtedy otrzymamy ∫ sh² u du = (1/2) (sh u ch u − u)

Paweł : Zostane chyba przy tym wzorze, ale dziękuje Wam za pomoc. Dobranoc

Adamm: szkoda, nie znam podstawień pod hiperboliczne dużo jest zastosowań funkcji hiperbolicznych i area?

jc: Adamm, z funkcjami hiperbolicznymi jest podobnie jak z trygonometrycznymi. ch^u − sh² u = 1, (sh u) ' = ch u, (ch u) ' = sh u. Funkcje hiperboliczne pojawiają się w różnych miejscach, ale z nieznanych mi powodów matematycy o nich nie uczą (za to skupiają się na tak rzadkich funkcjach, jak a^x (wszyscy piszą e^x) lub log_a x (wyjątkowo używamy czegoś innego niż ln x).

jc: Miało być: ch² u − sh² u = 1.

Mariusz: 1. a>0 √ax²+bx+c=t−√ax 2. a<0 Tutaj możesz założyć że b²−4ac>0 √a(x−x₁)(x−x₂)=(x−x₁)t Powyższe podstawienia sprowadzą całkę do całki z funkcji wymiernej

Mariusz: Przy podstawieniach Eulera warto wspomnieć o całkowaniu funkcji wymiernych Sposób z wydzieleniem części wymiernej 1. deg L(x)≥deg M(x) Dzielimy licznik przez mianownik z resztą L(x)=W(x)M(x)+R(x) 2. deg R(x)<deg M(x) ∧ gcd(M(x),M'(x))≠const

	R(x)		R1(x)		R2(x)
∫		dx=		+∫		dx
	M(x)		M1(x)		M2(x)

M₁(x)=gcd(M(x),M'(x)) M(x)=M₁(x)M₂(x) deg R₁(x)<deg M₁(x) deg R₂(x)<deg M₂(x) Liczniki znajdujesz metodą współczynników nieoznaczonych 3. deg R(x)<deg M(x) ∧ gcd(M(x),M'(x))=const Stosujesz rozkład na sumę ułamków prostych jednak będzie on nieco łatwiejszy bo nie masz pierwiastków wielokrotnych Jeżeli mianownik w rozkładzie na czynniki ma trójmian kwadratowy nierozkładalny nad R to zapisujesz go w postaci kanonicznej Inny sposób 1. deg L(x)≥deg M(x) Dzielimy licznik przez mianownik z resztą L(x)=W(x)M(x)+R(x) 2. deg L(x)<deg M(x) Stosujesz rozkład na sumę ułamków prostych Jeżeli mianownik w rozkładzie na czynniki ma tylko czynniki liniowe to nie ma problemu korzystasz z liniowości całki i całkowania potęgi Jeżeli mianownik w rozkładzie na czynniki ma trójmian kwadratowy nierozkładalny nad R to zapisujesz go w postaci kanonicznej Jeżeli w rozkładzie na czynniki mianownika trójmian kwadratowy nierozkładalny nad R się powtarza to wyprowadzasz wzór redukcyjny Zapisujesz licznik jako 1=1+x²−x² Po skorzystaniu z liniowości w jednej całce licznik skróci się z mianownikiem a drugą całkę wygodniej będzie liczyć przez części przyjmując

	x
u=x dv=		dx
	(1+x2)n