Całka nieoznaczona xxx: ∫1/√3−2x−x²dx Korzystam z III podstawienia Eulera: √3−2x−x² = t (x+3)|² (1−x)(x+3)=t²(x+3)² 1−x=t²x+3t² x=(1−3t²)/(t²+1) dx=−8t/(t²+1)² dt t = √(1−x)/(x+3) √3−2x−x² = t (x+3) √3−2x−x² = 4t/(t²+1) a więc: ∫1/√3−2x−x²dx= ∫(t²+1)/4t * −8t/(t²+1)² dt = ∫−2/(t²+1) dt = −2arctg(t) + C = = −2arctg√(1−x)/(x+3) + C tylko w odpowiedziach jest arcsin((x+1)/2) + C, gdzie popełniłam błąd?

jc: To może być ten sam wynik z dokładnością do stałej.

	x+1
3−2x−x2 = 4−(x+1)2 = 4(1 − (		)2 )
	2

Dlatego

	x+1
∫(1/√3−2x−x2 dx = arcsin
	2

Jack: jc Jak Ty to tu to tak?

Adamm:

	1
Jack, (arcsinx)'=
	√1−x2

nie znasz?

Jack:

	x+1
to jak u nas ten x = (		)2
	2

to moge tak odrazu podstawic?

xxx: Oki, dziękuję Sprawdziłam też na kalkulatorze pochodną wyniku i się wszystko zgadza, a już zaczęłam się martwić.

Mariusz: Całki postaci ∫R(x,√ax²+bx+c)dx możesz sprowadzić do całek z funkcji wymiernych podstawieniami 1. a>0 √ax²+bx+c=t−√ax 2. a<0 Tutaj możesz założyć że b²−4ac>0 w przeciwnym przypadku trójmian kwadratowy pod pierwiastkiem przyjmowałby tylko wartości ujemne Zapisujesz trójmian kwadratowy pod pierwiastkiem w postaci iloczynowej i podstawiasz √a(x−x₁)(x−x₂)=(x−x₁)t Wyznaczasz x jako funkcję zmiennej t Wyznaczasz pierwiastek jako funkcję zmiennej t Różniczkujesz x aby otrzymać dx Podstawienia Eulera przydają się też do wymyślenia podstawień dla całek z funkcji trygonometrycznych Wyrażasz funkcję trygonometryczną za pomocą funkcji sec(x) oraz tan(x) i korzystając z pierwszego podstawienia Eulera wymyślasz podstawienie sec(x)=t−tan(x) Wyrażasz funkcję trygonometryczną za pomocą funkcji cos(x) oraz sin(x) i korzystając z trzeciego podstawienia Eulera wymyślasz podstawienie cos(x)=(1−sin(x))t