q q: Wyznacz współrzędne wektora v w pewnej bazie przestrzeni liniowej V V = {[x, y, z, t ] : y + 2t = x + t = x – 2y – 5t }, v = (4, 6, 3, −2 ) jak krok po kroku zrobić to zadanie ?

Jack: Mamy zdefiniowana baze przestrzeni liniowej V, V = {[x,y,z,t]} = y+2t = x+t = ... Gdzie jest z ?

Jack: w kazdym razie (jesli dobrze mysle, jesli to pewnie jest zle ) nasza baza B = {(−2,−3,0,1), (0,0,1,0)} oczywiscie te wektory sa niezalezne, zatem α(−2,−3,0,1) + β(0,0,1,0) = (4,6,3,−2) {−2α = 4 {−3α = 6 {β = 3 α = − 2 [α,β] = [−2,3] zatem moje pytanie, Nie powinnismy najpierw rozszerzyc baze do przestrzeni R⁴ ? czyli "dodac" 2 niezalezne wektory do juz istniejacych? (wiem, prawdopodobnie nie wiem o czym mowie) Ale wektor (4,6,3,−2) nie moze sie zmienic w (−2,3) ?

jc: Jack, u mnie widać z. 6+2*(−2)=2, 4+(−2)=2, 4−2*6−5*(−2)=2, a więc v ∊ V. v ≠ 0, można wybrać bazę V, tak, aby wektor v był pierwszym wektorem tej bazy. Wtedy pierwsza współrzędna v będzie równa 1, a pozostałe współrzędne będą zerami.

Jack: można wybrać bazę V, tak, aby wektor v był pierwszym wektorem tej bazy. Wtedy pierwsza współrzędna v będzie równa 1, a pozostałe współrzędne będą zerami. Tych zdan nie rozumiem (o bazach sie dopiero ucze)

Jack: jc a nie wiesz jak to z moim rozumowaniem 12;53?

jc: Może popatrzmy na nasz przykład. Wybrałeś bazę: (−2,−3,0,1), (0,0,1,0). Inną bazą będzie zbiór wektorów: (4, 6, 3, −2 ), (0,0,1,0). W tej nowej bazie wektor (4, 6, 3, −2 ) ma współrzędne (1,0). W Twojej bazie oczywiście wektor (4, 6, 3, −2 ) ma współrzędne (−2,3).

Jack: ok, dzieki