Przedstaw wielomian w postaci iloczynu 2 wielomianów Zdesperowany: Zadanie: Przedstaw wielomian x¹⁹⁸⁵ + x + 1 w postaci iloczynu dwóch wielomianów o stopniu niezerowym Podobno wystarczy dodać i odjąć x² ale ja do niczego z tym nie dochodzę Będę wdzięczny jak ktoś podzieli się rozwiązaniem

Adamm: x¹⁹⁸⁵−x²+x²+x+1 x²(x¹⁹⁸³−1)+x²+x+1 x²(x−1)(x¹⁹⁸²+...+1)+x²+x+1 x²(x−1)(x¹⁹⁸⁰(x²+x+1)+x¹⁹⁷⁷(x²+x+1)+...+x²+x+1)+x²+x+1 x²(x−1)(x¹⁹⁸⁰+x¹⁹⁷⁷+...+1)(x²+x+1)+x²+x+1 (x²+x+1)(x²(x−1)(x¹⁹⁸⁰+x¹⁹⁷⁷+...+1)+1)

jc: Dwa lata temu, zaproponowałem na specjalny egzamin, takie zadanie: Dla jakich n wielomian xⁿ+x+1 dzieli się bez reszty przez wielomian x²+x+1.

Adamm: n∊ℕ₊ xⁿ−x²+x²+x+1 teraz xⁿ−x² musi dzielić się przez x²+x+1 dla n=2 mamy rozwiązanie, dla n=1 nie mamy, dla n=3 również nie teraz niech n>3, wystarczy że xⁿ⁻²−1 dzieli się przez x²+x+1 xⁿ⁻²−1=(x−1)(xⁿ⁻³+xⁿ⁻²+...+1) teraz xⁿ⁻³+xⁿ⁻²+...+1 musi dzielić się przez x²+x+1 teraz podzielmy to na 3 przypadki 1. n−3=3k, k∊ℕ x^3k+...+1 mamy 3k+1 wyrazów, odejmijmy więc od tego (x²+x+1)(1+x³+..+x^3k−3)= =1+x+...+x^3k−2 mamy x^3k+x^3k−1=x^3k−1(x+1) co nie jest podzielne na x²+x+1 2. n−3=3k+1 robimy dokładnie to samo, dostajemy x^3k+1+x^3k+x^3k−1=x^3k−1(x²+x+1) co jest podzielne przez x²+x+1 zatem dla n będącego liczbą dającą resztę 1 z podzielności przez 3 mamy liczbę podzielną przez x²+x+1 3. n−3=3k+2 otrzymujemy x^3k−1(x³+x²+x+1)=(x²+x+1)x^3k−1+x^3k+2 co nie jest podzielne przez x²+x+1 zatem odp. xⁿ+x+1 dzieli się przez x²+x+1 dla n∊{3k+2, k∊ℕ}

Adamm: tam powinno być 1+x+...+x^3k−1 , i 1. x^3k co nie jest podzielne 2. x^3k+1+x^3k co nie jest podzielne 3. x^3k+2+x^3k+1+x^3k=x^3k(x²+x+1) co jest oczywiście podzielne

Adamm: przepraszam, teraz to jest nieczytelne, spróbuję jeszcze raz

Jack: jc jestes nauczycielem/wykladowca?

jc: Adamm, gratulacje Zapiszę sobie Twoje rozwiązanie.

Adamm: xⁿ−x²+x²+x+1 jest podzielne przez x²+x+1 tylko jeżeli xⁿ−x² jest dla n=2 mamy wielomian 0 który jest podzielny przez x²+x+1 dla n=1 mamy x−x²=x(1−x) który nie jest podzielny przez x²+x+1 dla n=3 mamy x³−x²=x²(x−1) który nie jest podzielny przez x²+x+1 teraz niech n>3, mamy xⁿ−x²=x²(xⁿ⁻²−1) gdzie xⁿ⁻²−1 jest wielomianem co najmniej drugiego stopnia, żeby wielomian xⁿ−x² był podzielny przez x²+x+1 musi być xⁿ⁻²−1, mamy xⁿ⁻²−1=(x−1)(xⁿ⁻³+xⁿ⁻⁴+...+1) z kolei żeby ten wielomian był podzielny przez x²+x+1 musi być xⁿ⁻³+xⁿ⁻⁴+...+1 teraz możemy podzielić na 3 przypadki otrzymując reszty takie jak w 23:15

Benny: Ja to liczyłbym zespolonymi. Ciekawe jaki sposób krótszy?