nierównosc bernoulliego ktostam: Wykaż zbieżność ciągu rekurencyjnego za pomocą nierównosci Bernoulliego : a₁=1 a_n+1=(na_n+1)^1/n−1 Pokazałem, że ciąg jest malejący, teraz potrzebuje udowodnić, że inf(a_n)=0

Adamm: ktostam, jesteś pewien że nie udowodniłeś że ciąg jest nierosnący?

Adamm: z tego że jest nierosnący mamy a_n≤1 (na_n+1)^1/n−1≥(n+1)^1/n−1→0 stąd a_n≥0

jc: a₁ = 1 a_n+1 = (n a_n + 1)^1/n −1 n a_n + 1= (a_n+1 + 1)ⁿ ≥ 1 + n a{n+1} a_n ≥ a_n+1 Ciąg nierosnący i ograniczony, a_n ≥ 0, a więc zbieżny.

ktostam: fakt, macie racje.. Dzieki wielkie

jc: Adamm, masz rację (po drobnej korekcie). 0 ≤ a_n ≤ 1 0 ≤ a_n+1 = (n a_n +1)^1/n − 1 ≤ (n+1)^1/n − 1 →0 a_n → 0