całki Piekna Gosienka: ∫sin(2x)/√1−cos²(x)dx

Jerzy: Podstaw 1 − cos²x = t

Jerzy: Albo nawet od razu: √1 − cos²x = t

jc: = ∫ 2 (sin x)² (sin x)' dx = (2/3) sin³ x dla x ∊ [0, π].

Jack: jc (sinx)' = cosx nie czaje twojego zapisu : D

jc: A nie jest tak? ∫ 2 (sin x)² d sin x = (2/3) (sin x)³ Teraz lepiej? Oczywiście możesz wprowadzić nową literę i napisać y = sin x.

Mariusz: 1−cos²(x)=sin²(x) Ale po opuszczeniu pierwiastka będzie chyba trzeba wziąć wartość bezwzględną Stąd ograniczenie przedziału które dał jc

Jack:

sin(2x)		2sinxcosx
	=		= 2cosx (dla x ∊ <0;π>)
√1−cos2x		sinx

∫2cosx dx = 2∫cosx dx = 2sinx + C ?

Jerzy: @Jack... masz rację.

jc: Jack, oczywiście masz rację, nie zauważyłem dzielenia! Jenak nadal należy zachować ostrożność związaną ze znakiem sin x.

Jack: wlasciwie (0;π) bo sinx≠0

Jerzy: podstawić jak napisałem i nie martwić się o nic.

jc: Jerzy, ale ten problem nie znika tylko przenosi się w inne miejsce. Spotkałem się z tym kilka razy przy całkach oznaczonych.

Jack: jc z jakiego wzoru skorzystales? jak mamy ∫ f * g' ?

Jerzy: Pytasz o całkowanie przez części ?

Jack: no nie jestem pewien : D pytam o to przeksztalcenie :

	2
∫ 2sin2x * (sinx)' =		sin3x +C
	3

jc: Nie zrozumiałem. Tutaj było zwykłe podstawienie: ∫ f(g(x)) g'(x) dx = ∫ f(y) dy, y=g(x), tylko nie wprowadziłem nowej litery.

Jack: ok, dzieki