Obliczyc calki nieoznaczone samodzielnie dobierajac metode calkowania Nelka: 1) ∫ arc sin x dx 2) ∫ x/√1−x dx 3) ∫ 1/(sin x +cos x) dx

jc: Miało być samodzielnie (1) przez części (2) przekształć tak, aby było widać (3) masz wiele dróg, próbuj

Nelka: Tylko ze to pilne a ja nie umiem tego zrobić ...

Jerzy: Kolokwium ?

Nelka: Nie, ale moja kolej przy tablicy na ocene xD

Jerzy: 1) v' = 1 u = arcsinx

	1
v = x u' =
	√1−x2

	x
... = xarcsix − ∫		dx ... i teraz podstawienie: 1 − x2 = t2
	√1−x2

	−t
.... = xarcsinx − ∫		dt = xarcsinx + t = xarcsinx + √1 −x2 + C
	t

Nelka: Dziękuję

Nelka: A reszte przykładów ktos pomoglby rozwiazac?

Jerzy: 2)

	1
u = x v' =
	√1−x

u'= 1 v = −2√1−x .... i działaj.

Nelka: A konkretniej to jak to dalej zrobic?

Jerzy: Przez części.

Nelka: Dziekuje

Nelka: Potrzebuje jeszcze 3 przyklad caly i wyjaśniony bo dla mnie jest najtrudniejszy

Jerzy: Albo zastosuj podstawienie uniwersalne, albo skorzystaj z: sinx + cosx = √2sin(π/4 + x)

Nelka: A moglbys to rozpisac bardziej, dokladniej? Bo w ogole nie potrafie jej rozwiacac. Bylabym wdzieczna jakbys zrobil krok po kroku i to dosyc szybko, bardzo mi zalezy...

Nelka: ∫ 1/(sin x +cos x) dx= ∫(sin x +cos x) ⁻1 dx=.... podstawienie t=sin x, dt=(sin x)' dx=cos x dx...= ∫t⁻1 dt=∫1/t dt=ln |t|+c = ln|sin x|+c Czy to jest dobrze zrobione?

jc:

	x		1 − (1−x)
(2) ∫		dx = ∫		dx
	√1−x		√1−x

= ∫[ (1−x)^−1/2 − (1−x)^1/2 ] dx = − 2(1−x)^1/2 + (2/3) (1−x)^3/2

Nelka: A 3przyklad tez moglbys zrobic? Albo sprawdzic czy dobrze zrobilam?

Nelka: Jesli ten 3 przyklad jest zle to prosze o poprawe i wytlumaczenie

Nelka: Pilnie potrzebuje...

Jerzy: 3) A = (π/4 + x)

	1
Pomijam
	√2

	1		1		1		1		1
∫		dx =		∫		dx =		∫		dx
	sinA		2		sin(A/2)cos(A/2)		2		cos2(A/2)*tg(A/2)

	1
podstawienie: tg(A/2) = t , dt =
	2cos2(A/2)

	dt
.... = ∫		= ln|t| = ln|tg(A/2)|
	t

	1		1		1		1
ostatecznie: ∫		dx =		∫		=		lnItg(x/2 + π/8)
	sinx + cosx		√2		sin(π/4 + x)		√2

+ C

Nelka: Ale skad sie bierze to A?

Jerzy: Dla prostoty zapisu zastąpiłem (π/4 + x) literą A.

Nelka: A skad wiadomo ze sinx + cosx = √2sin(π/4 + x) 4 ?

Jerzy: To gotowy wzór, ale mozna go wyprowadzić ze wzoru: sinx + cosx = sinx + sin(π/2 − x)

Nelka: Dziekuje

Benny: Można spróbować też tak

	dx		dx		dt
∫		=∫		=|tgx=t, dx=		|=
	sinx+cosx		tgx+1		1+t2

1

1

1

dt

1

1−t

=∫

*

dt=

∫

+

∫

dt

t+1

t2+1

2

t+1

2

t2+1

Benny: No i zgubiłem jeszcze cosinusa, do kosza z tym

Jerzy: Mozna też tak:

	dt
t = cosx , dt = −sinxdx . dx =
	−sinx

dt

1

dt

dt

1

cosx − 1

... − ∫

=

(∫

− ∫

) =

ln|

| +

t2 − 1

2

t−1

t+1

2

cosx + 1

C

Jack: 2)

	x
∫		dx
	√1−x

dlaczego nie mozna zrobic podstawieniem ? t = √1−x t² = 1 − x 2tdt = −dx −2tdt = dx

	1−t2
= −2∫		tdt = −2∫ (1−t2)dt
	t

?

Jerzy: Kto powiedział,że nie można ? .... ale źle przekształciłeś.

Jerzy: A nie dobrze ... nie zauważyłem t po ułamku

Jack: bo mi wychodzi zly wynik : D

jc: Jack, można podstawiać, choć w tak prostych przypadkach to nie ma sensu. Podstawienia zalecam przy granicach x → −∞, x = −u, u→∞ x →3, x = 3+u, u→0 i wielu innych miejscach, aby nie rozpraszać się nieistotnymi szczegółami.

Jack: podstawienie jest prostsze, szczegolnie, jak widze, ze przez czesci to musimy znac calke z

1
	bo Jerzy to od razu napisal jej wynik. Ja to bym musial podstawieniem
√1−x

policzyc zatem przez czesci + podstawienie, to chyba szybciej jedno podstawienie ?

Jerzy:

	1
Fakt,że całkę z		policzyłem w pamięci
	√1−x

jc: Jack, znasz wzór na ∫x^a dx ? przecież to jest właśnie to, tylko zamiast x jet 1−x. a=−1/2.

jc: Jerzy, a jak można inaczej? przecież odwołujemy się do podstawowego wzoru.

Jack: no ale to tak nie dziala, bo z tego by wynikalo, ze jak bym mial

1
	to bym mogl to po prostu zamienic na
√x4−x2−3x+1

(x⁴−x²−3x+1)^−1/2 i ze wzoru, a to wcale tak nie jest

jc: Jack, uczyłeś się wcześniej różniczkowania. Tu mamy linową zależność: y=ax+b. W Twoim przykładzie zależność jest bardziej złożona. A tu masz prosty przykład ∫ cos(7x+3) dx = (1/7) sin(7x+3) Oczywiście możesz podstawiać y = 7x+3, tylko po co? Jednak, gdybyś miał coś takiego ∫(7x+3)³ cos(7x+3) e^7x+3 dx polecałbym jak najbardziej wprowadzenie nowej zmiennej.

Jack: ja rozumiem, ze to mozna odgadnac, tak samo jak

	x
∫		dx = √x2+1 + C bo to wynika z pochodnej pierwiastka, jednak, czasem naprawde
	√x2+1

latwiej podstawic.

jc: Decyzja, co pisać, a czego nie pisać zależy od nas. Czasem lepiej pisać więcej (ale więcej miejsc do pomyłki), czasem lepiej pisać mniej. (x³+5x²+7x+4) ' = (x³) ' + (5x²)' + ... Nikomu nie poleciłbym przepisywania. [x³ /(1+x²) + arctg (1+ e^x) + ln(1+e^x) ] ' = ... Proponowałbym każdy wyraz różniczkować osobno.