Wyznaczyc otwarte przedzialy zbieżności szeregów potęgowych studentka1:

	xn
∑ ∞, n=0
	2n(n+1)

Adamm:

	xn+1	2n(n+1)		x
limn→∞ |			| = |		|
	2n+1(n+2)	xn		2

	x
zbieżny dla |		|<1 ⇔ |x|<2
	2

studentka1: czy można krok po kroku

Adamm: czego nie rozumiesz?

studentka1: dobra jednak rozumiem, już ogarnęłam jedną rzecz, dzięki

Kamil: @Adamm studentka po prostu się wstydzi, czy mógłbyś opisać ten przykład krok po kroku, a reszte zrobimy już sami? Mamy ich masę na jutrzejsze ćwiczenia, a z wykładu nie rozumiemy nic

Kamil: Rozumiemy, że tam poskracałeś, lecz nie wiemy tak naprawdę co do czego i dlaczego zostało to tak zrobione

Adamm: zwyczajnie użyłem kryterium d'Alemberta, czego tu można nie rozumieć?

studentka1: a w jaki sposób ci skraca się (n+1) z (n+2)

Kamil: Niestety nigdy nie słyszeliśmy o kryterium d'Alamberta, nie dla wszystkich te rzeczy są tak oczywiste jak mogłyby się wydawać komuś kto ma to w małym palcu. No nic, dzięki :c

Adamm: może tak, nie zabierajcie się za szeregi jeśli nie potraficie obliczać granic

n+1
	→1
n+2

studentka1: czemu to jest 1, przecież to nieskończoność przez nieskończoność

Jack:

	n+1		1   n(1+ )   n		1   1+   n		1
lim		= lim		= lim		=		= 1
	n+2		2   n(1+ )   n		2   1+   n		1

n−>∞

	1		1
(poniewaz		przy n−>∞ to		a to zbiega do zera)
	n		∞

Kamil: Dzięki Jack !

studentka1: dobrze, rozumiem jeszcze mam pytanie o szeregi, jaka jest różnica gdy n=1, a n=0

Jack: ∞ ∑ (a_n) to oznacza ze sumujemy od wyrazy z indeksem 0 n=0 ∞ ∑ (a_n) to oznacza ze sumujemy od wyrazy z indeksem 1 n=1 Przykład ∞ ∑ (n) = (podstawiamy kolejno za n liczby 0,1,2,3,... bo indeksujemy od zera) = 0 + 1 + 2 + ... n=0 ∞ ∑ (n) = (podstawiamy kolejno za n liczby 1,2,3,... bo indeksujemy od jeden) = 1 + 2 + 3+ ... n=1

studentka1: dzięki

Jack: Dlaczego to jest takie wazne?

	1
wezmy sobie szereg		(tzw. szereg harmoniczny)
	n

Liczymy go zawsze od jedynki czyli ∞

	1		1		1		1		1
∑		=		+		+		+		+ ...
	n		1		2		3		4

n=1 gdybysmy indeksowali od zera, tzn. ∞

	1		1		1		1		1
∑		=		+		+		+ ... (to widzimy, ze pierwszy wyraz to		)
	n		0		1		2		0

n=0 a jak wiesz nie mozna dzielic przez zero, wiec jest to istotne by nie zaczynac zerem)