granica
ktostam: Pokazać z def, że granicą ciągu (5
n+4
n−3
n)
1/n jest 5.
Co tu jest nie tak?
Załóżmy, że jest to prawdą.
Wtedy dla każdego δ>0 istnieje takie M, że dla każdego n>M
|(5
n+4
n−3
n)
1/n−5|<δ
| | 4 | | 4 | |
|5[(1+ ( |
| )n− ( |
| )n )1/n −1]|<δ |
| | 5 | | 5 | |
Wartość pierwiastka nigdy nie będzie mniejsza od 1− opuszczamy wartość bezwzględną
| | 4 | | 3 | | δ | |
(1+( |
| )n − ( |
| )n )1/n < |
| +1 |
| | 5 | | 5 | | 5 | |
Jeśli jest dobrze to co można dalej ?
3 sty 16:39
jc: Jeśli chcesz pokazać jakiś fakt, nie możesz wychodzić z założenie, że fakt jest prawdziwy.
3 sty 16:50
ktostam: W takim razie jak pokazać ten fakt ?
3 sty 16:54
jc:
5n ≤ 5n + 4n − 3n ≤ 5n + 4n = 5n [ 1 + (4/5)n ]
5 ≤ [5n + 4n − 3n]1/n ≤ 5 [ 1 + (4/5)n ]1/n ≤ 5 [ 1 + (4/5)n ]
(5/4)n = (1 + 1/4)n ≥ 1 + n/4 ≥ n/4
Dlatego (4/5)n ≤ 4/n,
5 ≤ [5n + 4n − 3n]1/n ≤ 5 ( 1 + 4/n)
0 ≤ [5n + 4n − 3n]1/n − 5 ≤ 20/n
Weźmy δ>0. Widzimy, że dla n > 20/δ zachodzi nierówność
0 ≤ [5n + 4n − 3n]1/n − 5 < δ, co dowodzi, że rozpatrywany ciąg ma granicę = 5.
3 sty 17:11