podciąg- zbieznosc ktostam: Udowodnij, że jeśli supremum pewnego ciągu jest skończone i nie jest osiągane (nie jest to maksimum) to istnieje podciąg rosnący zbieżny do tego supremum. Zrobiłem następujący dowód (nie potrafię go dokonczyć): Niech sup(a_n)=X Wybieramy podciąg a_kn rosnacy. a_kn⊂a_n oraz a_n jest ograniczony z góry przez X, zatem a_kn również jest ograniczony przez X. Podciąg ten jest rosnący, więc posiada element najmniejszy. Jest ograniczony, Ciąg monotoniczny ograniczony jest zbieżny. Jak pokazać, że X jest granicą ?

jc: i nie dokończysz, bo źle zacząłeś. X nie musi być granicą przypadkowego podciągu rosnącego. Dla każdego n, znajdziemy k_n takie, że a_kn > X − 1/n. a_nk → X.