kłopotliwa całka OLa123: Witam mam problem z policzeniem poniższej całki: ∫tg⁵x dx

Mariusz: 1. Podstawienie t=tan(x) 2. Wzór redukcyjny wyprowadzony przez części

OLa123:

	sin2x		sin2x
a coś bardziej prościej ? np. ∫tg2x * tg2x * tgx dx=∫		*		*
	cos2x		cos2x

tgx dx=

	1−cos2x		1−cos2x		1		1
∫		*		* tgx dx=∫(		− 1) * (		− 1) *tgx
	cos2x		cos2x		cos2x		cos2x

dx=.. można też taką droga tylko że robiąc dalej przez podstawienie nie bardzo wiem jak działać dalej , bo metoda podstawienia nie działa ..

Mariusz: t=tan(x)

	sin(x)
t=
	cos(x)

	cos2(x)−(−sin2(x))
dt=		dx
	cos2(x)

dt=(1+tan²(x))dx dt=(1+t²)dx

	dt
dx=
	1+t2

	t5		t5−t+t
∫		dt=∫		dt
	1+t2		1+t2

	t(t4−1)		t
=∫		dt+∫		dt
	t2+1		1+t2

	t(t2−1)(t2+1)		1		2t
=∫		dt+		∫		dt
	t2+1		2		1+t2

	1		2t
=∫(t3−t)dt+		∫		dt
	2		1+t2

	t4		t2		1
=		−		+		ln|1+t2|+C
	4		2		2

	tan4(x)		tan2(x)		1
=		−		+		ln|1+tan2(x)|+C
	4		2		2

OLa123: Mariusz w odpowiedziach mam 1/4 tg⁴x−1/2 tg²x−ln|cosx| + C

benny: to jest to samo

OLa123: a można to rozwiązać takim sposobem który zaproponowałam wyżej też?

yht: przekształcenia masz poprawne, ale nie widzę sensownego podstawienia chcesz prościej to możesz np. tak:

	sin5x		sin2x*sin2x*sinx
tg5x =		=		=
	cos5x		cos5x

	(1−cos2x)*(1−cos2x)*sinx
=
	cos5x

potem cos x = t masz prostą całkę z funkcji wymiernych nawet w niej nie będziesz musiała się bawić w rozkład na ułamki proste, wystarczy wymnożenie nawiasów i rozbicie na sumę prostych całek

OLa123: dziękuje wszystkim za pomoc