Ciąg qwerty: Ciąg skończony (a_n) jest określony wzorem ogólnym a_n=7(³√3)ⁿ⁻¹ , przy czym "n" jest liczbą naturalną dodatnią mniejszą od 100. Liczba wymiernych wyrazów ciągu (a_n) jest równa? Odpowiedź to 33

Adamm: a_n=7(³√3)ⁿ⁻¹ jeśli teraz n−1=3k to mamy wyraz wymierny postaci 7*3^k, jeśli nie to mamy oczywiście niewymierny n=3k+1, k∊{0;...;32} (ponieważ 1≤n≤99) stąd mamy 33 wyrazy wymierne

KKKK: Sorry, ale nic nie rozumiem. Skąd te n−1=3k i dalej?Wytłumaczy ktoś?

Mila: ³√3³ =3− liczba wymierna (³√3)⁶=3²− liczba wymierna

#a: Pytanie jest takie . Dlaczego akuratnie n−1=3k a nie np 5k czy 7k?

Mila: a_n ma mieć wyrazy wymierne. np. (³√3)⁵ nie jest liczba wymierną, to 7*3*³√9 też nie jest liczba wymierną

#a: Dziękuje Milu

KKKK: A dlaczego padło na zapis n−1=3k, czym jest wynik 3k, co to k?

.: Zapis n−1 = 3k powstał po to abyśmy zmienili postać potęgi, a 3k jest o to aby 'pozbyć sie' pierwiastka. k jest niewiadoma która jest powiązana z wyjściowa niewiadoma n, jest ona w prowadź na tylko i wyłącznie po to aby uprościć nam dalsze przekształcenia i obliczenia.

KKKK: To znaczy, że n−1= k? Jak to złożyć? Nie mogę zrozumieć.

KKKK: Chodzi mi po prostu dlaczego jest n−1=3k. Skąd to? Nie rozumiem.

wredulus_pospolitus: masz (³√3)ⁿ⁻¹ −−−> 3^(n−1)/3 jako, że 3 jest liczbą pierwszą to 3^1/b (gdzie b to liczba naturalna dodatnia) zawsze będzie liczbą niewymierną (pierwiastek dowolnego stopnia z liczby pierwszej jest liczbą niewymierną)

	n−1
związku z tym		MUSI być liczbą całkowitą
	3

skoro musi być liczbą całkowitą to znaczy że n−1 MUSI być postaci 3k (aby mieć zagwarantowaną podzielność przez 3) stąd n−1 = 3k −−−> n = 3k+1 −−−> n = 4,7,10,..., itd.

KKKK: Aha czyli literę k dopisuję po to by podzielić? A co to znaczy że 3 jest liczbą pierwszą to 3^1/b?

Hua Zhi: A jak zapiszesz inaczej np 2^1/2

Hua Zhi: lub 2^1/3 lub 5^1/2 lub 5^1/3

KKKK: Noi po co mi taka liczba 3^1/b?

Hua Zhi: To jeszcze raz przeczytaj post wredulusa Poza tym nie odpowiedziałes na moje pytanie. W związku z tym jakie rozwiązanie tego zadania Ty zaproponujesz ?

KKKK: @Hua Zhi 2^1/b −−−−−−−> 2^1/3 , 3 bo dowolna liczba naturalna?

n−1
	dopisuje −−−−−−−> k by było podzielne, wtedy
3

n−1 = 3k −−−−−−−−> n = 3k+1 −−−−−−−−−−−> ? Wynik ma być 33 To obliczam 7*3^k, ale nie wiem po co k?

Hua Zhi: Spróbujmy podejśc do problemu inaczej a_n= 7*(³√3)ⁿ⁻¹ Teraz tak żeby wyraz a_n był wymierny to ³√3ⁿ⁻¹ musi być liczba wymierną Wiemy tez że ³√3= jest liczba niewymierną Teraz jest nastepne pytanie Do jakiej potęgi należy podnieść ³√3 zeby ten pierwiastek podniesiony do tej potęgi dał liczbe wymierną 1) ( ³√3)⁰=1 wymierna ============ 2) (³√3)¹= liczba niewymierna 3) (³√3)²= liczba niewymierna 4) (³√3)³=3 − liczba wymierna ============== 5) (³√3)⁴= liczba niewymierna 6) (³√3)⁵= liczba niewymierna 7 ) (³√3)⁶=9 −liczba wymierna =========== dalej jedziemy 8) (³√3)⁷= liczba niewymierna 9) (³√3)⁸= liczba niewymierna 10) (³√3)⁹=27 − liczba wymierna ============== jak bedziesz tak dalej liczył to zauważysz że jeśli ³√3 podniesiesz do potęgi {0, 3, 6,9 12. 15.....itd co 3 } to ³√3 bedzie liczba wymierna a co za tym idzie wyraz ciągu bedzie liczba wymierna Teraz potęga (n−1) ktora stoi przy ³√3 w wyrazie ciągu musi byc wielokrotnościa liczby 3 więc możemy ją zapisać jako 3*k (gdzie k∊C k={0,1,2,3,4,5, itd} 3*0=0 3*1=3 3*2=6 3*3=9 itd Zobacz ze jesli bedziem podnosić ³√3 do tych poteg to mamy liczby wymierne Stąd potega (n−1)=3k Do tej pory powinno być wszystko jasne n−1=3k to samo n=3k+1 n−1=0 n=1 n−1=3=3*1 n=3*1+1=4 (³√3)ⁿ⁻¹=(³√3)³ to n musi rownac sie 4 n−1=6=3*2 n=3*2+1=7 (możesz sobie sprawdzac n−1=9= 3*3 n=3*3+1=10 n−1=12=3*4 n=3*4+1=13 itd Z warunkow zadania mamy ze n∊[1,99] Popatrz tez ze nasz n tworzy ciag arytmetyczny o piereszym wyrazie a₁=1 i ostatnim a_n=99 i róznicy r=3 a_n=a₁+(n−1)*r 99=1+(n−1)*3 99=1+3n−3 n=33

Hua Zhi: Cos zciagiem chyba pomieszalem ale to ewentualnie juz jutro do poprawy Teraz

Hua Zhi: a₁= 1 a_n=97 r=3 a_n=a₁+(p−1)*3 p− liczba wyrazów zeby nie było kolizji oznaczen 97=1+3p−3 97=3p−2 99=3p p=33