Szereg lowca: Jak zbadać zbieżność szeregu: ∑ln[(n²+1)/n²]

Łowca: Mam problem jeszcze z takim szeregiem. ∑(1/[n⁽ⁿ⁺¹⁾])ⁿ

Jack: 1. Wykorzystujac nierownosc lnx≤x−1dowiedziemy z KP ze jest zbiezny.

	n2+1		n2+1		1
ln		≤		− 1 =
	n2		n2		n2

	1
∑		jest zbiezny z Dirichleta
	n2

	n2+1
Zatem na mocy Kryt. Porownawczego ∑ ln		jest zbiezny
	n2

Jack: 2)

	1		1		1
(		)n =		≤
	nn+1		(nn+1)n		n2

	1
∑		zbiezny z Dirichleta
	n2

	1
Zatem na mocy KP ∑ (		)n jest zbiezny.
	nn+1

Co do tego podpunktu nie jestem pewien,ale chyba powinno byc git.

Łowca: Bardzo ci dziekuje. Jeszcze mam ostatni szereg. Podobny do tego drugiego lecz wszystko do 1/n. ∑[(1/n⁽ⁿ⁺¹⁾)]^(1/n). Wydaje mi sie ze bedzie rozbiezny bo zachowa sie podobnie jak 1/n. Czyli musze go oszacowac z dołu, ale nie wiem przez co.

Jack:

1		1		1		1
	=		=		=
(nn+1)1/n		n(n+1)/n		n1 + 1/n		n + n√n

Zatem oszacowanie z dolu to np.

1		1		1		1
	=		=		*
n + n		2n		2		n

	1
A szereg		to juz szereg harmoniczny rozbiezny
	n

Zatem na mocy KP szereg... <tu wpisujemy szereg> jest rozbiezny

Łowca: Klasa. Wielkie podziekowania. Pozdrawiam

ICSP: n^{1 + 1/n} = n + ⁿ√n ?

Jack: Jaaa... Tam oczywiscie jest mnozenie Przepraszam Dowod trza poprawic

	1
Zatem nasz szereg to jest
	n*n√n

A szacowanie z dolu moze zostac gdyz ⁿ√n nie przekroczy wartosci wiekszej niz 2. Jesli sie myle to niech ktos poprawi.

Łowca: A nawet odruchowo w zeszycie zaznaczyłem ze mnozenie, bo glownie o oszacowanie mi chodzilo. I wydaje mi sie ze przez 1/2n jest dobre, wiec dzieki

lowca: To niestety znowu ja. Napotkałem kolejny problem. ∑sin(1/n)cos²(1/n) Wydaję mi się, że będzie rozbieżność: więc ograniczam z dołu, korzystając z tego że sin(1/n)/(1/n)=1, ograniczyłem 1/(2n)<sin(1/n), ale nie wiem co zrobić dalej, bo zostaje mi cos²(1/n). Próbowałem też rozpisać: ∑sin(2/n)cos(1/n)*1/2 i wtedy ograniczyłem 1/n<sin(2/n), ale też nie wiem co dalej bo zostaje mi cos(1/n).

Adamm:

	sin(2/n)cos(1/n)(1/2)
limn→∞		= 1
	(1/2)2/n

	1
z kryterium porównawczego rozbieżny, bo		jest
	n

lowca: nie rozumiem kompletnie, skąd się wziął ten mianownik

Adamm: wziąłem jako wyraz z którym porównuje szereg sin(1/n)cos²(1/n) jeśli masz szereg ∑a_n i ∑b_n, przy czym a_n>0 oraz b_n>0, to możesz porównać dwa szeregi

	an
obliczając granicę limn→∞		, jeśli ta granica jest skończona i różna od zera
	bn

do ze zbieżności jednego wynika zbieżność drugiego, lub rozbieżności wynika rozbieżność

lowca: Aaaaaaaaa. Czyli to jest to kryterium ilorazowe? Dobra dzięki wielkie, bo wcześniej nie rozumiałem do końca o co w nim chodzi. Cenna rzecz.

Adamm: tak jest jeszcze przypadek gdy granica jest równa 0 lub ∞, ale działa tylko w jedną ze stron