Oblicz cosinus najmniejszego kąta w tym trójkącie i wysokość na boku BC TrVelr: Punkty A(−1,2), B(3,−3), C(5,3) są wierzchołkami trójkąta ABC a) Oblicz cosinus najmniejszego kąta w tym trójkącie b) oblicz długość wysokości tego trójkąta poprowadzonej na bok BC Proszę o pomoc. w a) wiem, że najmniejszy kąt będzie na przeciwko najkrótszego boku. Obliczyłem długości wszystkich boków. Teraz chyba wystarczy podstawić je do wzoru na cos, cos=XuXv+YuYv/(|u|*|v|), ale nie wiem jak go zastosować w tym przypadku co do b) nie mam zielonego pojęcia. Proszę pomóżcie

TrVelr: albo nawet i nie, bo wtedy trzeba by było przeliczać na wektory...

hmm: a znasz twierdzenie cosinusów

TrVelr: Twierdzisz, że z niego trzeba wyznaczyć ten kąt?

hmm:

hmm: można różnie

TrVelr: Mógłbyś mi w tym pomóc? Na razie wyliczyłem, że kąt ABC, będzie najmniejszy

hmm: Jeśli napiszesz równanie prostej przez punkty A i B a potem policzysz odległość punktu C od tej prostej to masz szukaną wysokość

TrVelr: Wysokość poprowadzona jest na bok BC, czyli jest na odwrót mam rozumieć

hmm: masz rację to ja pomyliłem

TrVelr: równanie prostej w postaci ogólnej wyszło mi 3x−y−12=0, czyli nawet spoko wynik, ale już odległość punktu A od boku BC, czyli tej rzekomej wysokości(?) wynosi już −17√10/10 mógłbyś sprawdzić, czy dobrze mi wyszło, bo mam co do tego pewne wątpliwości?

hmm: OK ... ale bez minusa zgubiłeś moduł

hmm: teraz możesz drugim sposobem policzyć cosinus kąta

TrVelr: a co do wyniku to dobry wyszedł? Jeśli nie liczyć tego minusa oczywiście?

hmm: tak

TrVelr: Okej, a co za drugi sposób do obliczenia tego cosinusa masz na myśli?

hmm: znając wysokość i |AB| wyznaczysz sinus kąta a znając sinus kąta wyznaczysz jego cosinus

TrVelr: hmmm, czyli w sumie wartość wysokości nam tutaj nic nie daje, albo w zasadzie tylko to, że tworzy nam trójkąt prostokątny, z którego możemy wyznaczyć różne wartości trygonometryczne. Jeśli się nie mylę, to trzeba obliczyć połowę odcinka BC i z tego cosinus kąta ABC

hmm: niby dlaczego Wysokość jest przyprostokątną ... |AB| przeciwprostokątną ... i to wystarczy

TrVelr: do sinusa tak, ale cosinusa nie. Do obliczenia cosinusa potrzebna jest druga przyprostokątna, która jest połową boku BC. A cosinus to właśnie stosunek tej przyprostokątnej do przeciwprostokątnej

TrVelr: może da się to jakoś inaczej obliczyć, ale mi przychodzi do głowy tylko takie rozwiązanie

hmm: ale przecież potrafisz wyznaczyć wartość cosα znając sinα

TrVelr: z jedynki trygonometrycznej tak? chociaż nie wiem czy ten sposób jest szybszy..

hmm: dlatego pisałem, że możesz na kilka sposobów... wybór należy do Ciebie Możesz też Pitagorasem

TrVelr: wtedy musiałbym liczyć sinusa i podstawiać pod ten wzór, a z racji tego, że obliczyłem już wcześniej długości boków, żeby stwierdzić gdzie znajduje się najmniejszy kąt, mam już długość boku BC. Tak się składa, że wynosi ona √40, czyli połowa to √10, więc wtedy tylko pozostaje podstawić do stosunku boków i mam już wynik

TrVelr: Dzięki za pomoc, już skończyłem zadanie. Za jakiś czas mogę mieć pytania do kolejnych, także możesz śledzić moje wątki

Mila: Punkty A(−1,2), B(3,−3), C(5,3) |AB|²=(3+1)²+(−3−2)²=16+25=41 |AC|²=(5+1)²+(3−2)²=36+1=37 |BC|²=(5−3)²+(3+3)²=4+36=40 1) Najkrótszy bok to AC, najmniejszy kąt to ∡ABC z tw. cosinusów: |AC|²=|AB|²+|BC|²−2*|AB|*|BC|*cosβ⇔ 37=41+40−2*√41*40 cosβ⇔ −44=−2*√41*4*10 cosβ

	44
cosβ=
	2*2√410

	11
cosβ=
	√410

2) prosta BC: BC^→=[2,6]

x−3		y+3
	=		⇔y=3x−12⇔3x−y−12=0
2		6

	|3*(−1)−2−12|		17		17√10
d(A=(−1,2),BC)=		=		=
	√32+12		√10		10

TrVelr: Ajajaj, faktycznie, można to obliczyć jeszcze chyba z jedynki trygonometrycznej i faktycznie z twierdzenia cosinusów. Ja nie wiem czemu założyłem, że wysokość dzieli bok na pół, a przecież nie jest to trójkąt równoboczny, ani nawet równoramienny XD Dzięki chłopaki, co bym ja bez Was zrobił

cosinusx: Najmniejszy kąt znajduje się na przeciwko najkrótszego boku. Liczymy więc długości boków trójkąta: |AB|=√41 |AC|=√37 |BC|=√40 Zatem najmniejszy kąt znajduje się na przeciwko boku AC, czyli przy wierzchołku B. Poprowadźmy wysokość tego trójkąta padającą na bok BC w punkcie S. Niech odcinek BC zawiera się w prostej l, a odcinek AS (czyli wysokość) w prostej k. Proste te są oczywiście prostopadłe (bo wysokość jest prostopadła). Wyznaczmy ich równania: −Prosta l y=a_lx+b_l l przechodzi przez punkty B i C, więc za x i y podstawiamy ich współrzędne. Otrzymujemy układ równań: −3=3a_l+b_l 3=5a_l+b_l skąd dostajemy, że a_l=3, a b_l=12. Zatem równanie prostej l jest postaci: y=3x−12 −Prosta k y=a_kx+b_k Ponieważ proste są prostopadłe, to spełniony musi być warunek: a_k*a_l=−1

	−1
Stąd otrzymujemy, że ak=		.
	3

	−1
Więc y=		x+bk
	3

Za x i y podstawiamy współrzędne punktu A, który należy do tej prostej:

	−1
2=		*(−1)+bk
	3

	4
Skąd dostajemy, że bk=
	3

	−1		4
Czyli prosta k ma równanie y=		x+
	3		3

Znajdujemy teraz współrzędne punktu S, czy punktu przecięcia się prostych k i l. Tworzymy układ równań z równań tych prostych. y=3x−12

	−1		4
y=		x+
	3		3

Skąd otrzymujemy, że x=4, y=0. Czyli S=(4,0). Możemy teraz obliczyć długość wysokości trójkąta, czyli długość odcinka AS. h=|AS|=√29

hmm: no i w ten to oto sposób Mila została chłopakiem

TrVelr: Musiało nietrafnie skojarzyć mi się z Sebastianem Milą. Najmocniej Panią Milę przepraszam i mam nadzieję, że moja gafa nie przeszkodzi pomocy mi w kolejnych zadaniach

Mila:

Mila: cosinusx, masz małą pomyłkę.

	1		5
k: y=−		x+
	3		3

cosinusx: Tak, masz rację głupi błąd rachunkowy