geo analityczna Rafal: Załóżmy, że mam punkty A=(a, 2a), B=(b, 2b), C=(−a−2√3, −2a+√3). Czy zna ktoś jakiś sprytny sposób na wyznaczenie tych wartości a i b, dla których trójkąt ABC jest równoboczny?

Jack: gdy odleglosci tych punktow od siebie sa rowne, tzn. |AB| = |BC| |BC| = |AC| |AC| = |AB| albo prostymi. prosta przechodzaca przez punkty A i B musi byc pod katem 60 stopni do prostej przechodzacej przez BC i AC.

Jack: nie jest to zaden sprytny sposob... niestety

Rafal: Wszystkie pomysły mile widziane.

Rafal: Po prostu nie wierzę, żeby autor poniższego zadania (z kursu do matury) zmuszał czytelnika do tak karkołomnych rachunków.

	√3
Punkt P(−√3,		) jest środkiem boku trójkąta równobocznego. Drugi bok trójkąta leży
	2

na prostej y = 2x. Wyznaczyć współrzędne wszystkich wierzchołków trójkąta i obliczyć jego pole. Sporządzić rysunek.

Jack: a to musisz poczekac np. na pania Mile albo Ete, bo ja to slaby jestem w geometrii

Adamm: może tak wyznacz proste nachylone do y=2x o 60^o, wzorem na tg kąta między prostymi

Adamm: i przechodzące przez P

Jack: akurat to samo mi przyszlo do glowy

Rafal: O, to naprawdę dobry pomysł! Dziękuję.

Rafal: Chyba się poddaje. Policzenie współczynnika kierunkowego, wyrazu wolnego, punktu przecięcia i jeszcze paru innych rzeczy przy tonie pierwiastków... za słaby na to jestem.

Kacper:

Mila: Licz tradycyjnie: |AB|²=|AC|²=|BC|²

Rafal: Nie wierzę w to, co liczę. Mila, czy znasz wynik? Ja dokopałem się do równości 20ab=−15 (nie zdziwię się, jeśli jest błędna), a potem dostałem kosmiczne równanie wielomianowe, o niecałkowitych współczynnikach do tego.

jc: Wystarczy sobie to wyobrazić. b = −3a, a = √5 /2, o ile sobie to dobrze wyobraziłem. Sprawdź.

Mila: Wg moich obliczeń ( raz liczyłam).

	1
a=−
	2

	3
b=
	2

lub

	1
a=
	2

	3
b=−
	2

Mogę napisać obliczenia, jeśli będziesz miał kłopoty.

Rafal: Dziękuję, wrócę do tego jutro. Dziś nie mam sił.

jc: Na pewno b= − 3a. Wtedy (A−B)²=80 a² (A−C)² = (B−C)² = (2a+2√3)²+ (4a−√3)² =20 a² + 15 a² = 1/4 a= 1/2 lub a=−1/2 Brawo Mila

Mila: a≠b |AB|²=(a−b)²+(2a−2b)²=(a−b)²+4*(a−b)²=5(a−b)² |AC|²=(2a+2√3)²+(4a−√3)²=4a²+8√3a+12+16a²−8√3a+3=20a²+15 |BC|²=(b+a+2√3)²+(2b+a−√3)²= =[(a+b)²+4√3*(a+b)+12−(2a+2b)*2√3+3= =(a+b)²+4(a+b)²+15=5(a+b)²+15 =========================== 5(a−b)²=5(a+b)²+15 (*) 5(a−b)²=20a²+15 −−−−−−−−−−−−−− 20a²+15=5(a+b)²+15⇔ 5(a+b)²=20a² /:5 (a+b)²=4a²⇔a+b=2a lub a+b=−2a b=a ∉D lub b=−3a podstawiam do (*) 5*(a+3a)²=20a²+15 (4a)²=4a²+3 12a²=3

	1
a2=
	4

	1		3
a=		i b=−
	2		2

lub

	1		3
a=−		i b=
	2		2

================

Rafal: Mila

Ale jak: skad wiemy 18:19?

5-latek: Trojkat rownoboczny ma wsztstkie boki rownej dlugosci We wzorze na dlugosc odcinka masz pierwiastek i zeby sie go pozbyc podnosisz obie strony do potegi drugiej

Kacper:

	√3
Punkt P(−√3,		) jest środkiem boku trójkąta równobocznego. Drugi bok trójkąta leży
	2

na prostej y = 2x. Wyznaczyć współrzędne wszystkich wierzchołków trójkąta i obliczyć jego pole. Sporządzić rysunek. np. tak

	15
d(P, pr. AB)=		, zatem bok trójkąta ma długość 2√5. Liczymy pole.
	2

Kreślimy okrąg o środku w punkcie P i promieniu √5. Znajdujemy punkt A (układ równań) Punkt C (środek odcinka) i punkt B (długość odcinka) Wyniki to: A=(−0,5; −1) B=(1,5; 3) C=(−2√3+0,5; √3+1) P[ABC]=5√3

jc: To jest zły rysunek. Wektor (−2√3,√3) jest prostopadły do prostej, na której leży bok AB (prosta ma kierunek (1,2). Rzut prostokątny punktu C na prostą AB ma współrzędne (−a, −2a). Rzut powinien być środkiem odcinka AB. (−a,−2a) = (1/2) [ (a,2a)+ (b,2b) ] Stąd b = −3a. A potem podstawimy tak, jak to zrobiłem o 20:06 i mamy wynik.

Rafal: Kacper, co chwila uczę się nowych rzeczy

jc: To nie był zły rysunek, przepraszam.

Kacper: jc chodzi o mój rysunek? jest niedokładny, bo robiony przed tym jak wykonywane były obliczenia.

Kacper:

Kacper:

	√15
Jest literówka, bo odległość punktu P jest równa		.
	2

jc: Można było i tak, jak Kacper. P=(1/2)(C+A) =(−√3, √3 /2). Może po prostu zmyliło mnie oznaczenie P(−√3, √3 /2). Nie potrafię się do tego przekonać. Czy P(2,3)=P(5,7)? P(3,2)=Q(3,2) ? Bardziej logiczne byłoby oznaczenie (P,2,3). Wtedy nie mielibyśmy żadnej równości.

Kacper: jc chodzi ci o zapis? P=(2,3) czy P(2,3)?

jc: Kacper, Twój rysunek jest w porządku Po prostu pomyślałem o swoim (miałem go tylko w głowie). U mnie była tylko prosta AB, położenie C dla a=0, oraz prosta równoległa do AB przechodząca przez C (w przypadku a=0).

jc: P(2,3), lepiej by wyglądało (P,2,3).

jc: P(2,3) wygląda jak wartość P w punkcie (2,3), a nie jak P=(2,3). Domyślam się, że gdzieniegdzie w szkołach tak uczą. Potem studenci jak widzą definicję pochodnych mają problem i piszą coś takiego

	f(x+h)−f(x)
iloraz różnicowy
	h

f(x)=x²

	f( (x+h)2 ) − f(x2)
iloraz różnicowy =		.
	h

Kacper: W książkach jest pisane ostatnio jak komu się podoba. Teraz widzę jest "moda" na stawianie wszędzie kresek np |∡α| =30^o

Kacper: W 90% podręczników szkolnych występuje zapis P(2,3).

jc: Nie wygląda to ładnie, ale jakiś sens mam: kąt = obiekt geometryczny, |kąt| = miara kąta. Wolę bez kresek.

jc: W takim razie upierałbym się przy zapisie (P,2,3). Tylko jeden przecinek więcej.

Kacper: Najgorszy jest brak konsekwencji w uczeniu pewnych zapisów i potem dzieciaki głupieją. Weźmy takie liczby całkowite (C), a potem student pisze C i dostaje 0 pkt na kolokwium. Nie wiem jaki problem uczyć oznaczeń międzynarodowych.

jc: Też tego nie rozumiem, to w końcu 5 liter N, Z, Q, R, C. Problem dotyczy Z, Q i C. Po co się dwa razy uczyć, za każdym razem inaczej?

Kacper: Ciekaw jestem czy na maturze jak ktoś napisze Z zamiast C uznają.

Li: Inaczej: Punkty A i B leżą na prostej : y=2x a≠b

	a+b
S=(		, a+b)− środek AB
	2

	1
s: y=−		x+k − symetralna AB, S∊s, na symetralnej leży punkt C⇔
	2

ustalam wartość k, S∊s

	1		a+b		1		1		5		5
a+b=−		*		+k⇔a+b=−		a−		b+k⇔k=		a+		b
	2		2		4		4		4		4

C∊s

	1		1		5
−2a+√3=−		*(−a−2√3)+k⇔−2a+√3=		a+√3+k⇔k=−		a
	2		2		2

5		5		5
	a+		b=−		a⇔
4		4		2

b=−3a |AB|²=80a² |AC|²=20a²+15

	1
80a2=20a2+15⇔a2=		⇔
	4

	1		1
a=		lub a=−
	2		2

	3		3
b=−		lub b=
	2		2

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	1		3
a=		i b=−
	2		2

	1		3		1
A=(		,1), B=(−		,−3), C=(−		−2√3,−1+√3)
	2		2		2

lub

	1		3
a=−		i b=
	2		2

	1		3		1
A=(−		,−1), B=(		,3), C=(		−2√3,1+√3)
	2		2		2

Mila: Teraz to narysuj w układzie współrzędnych, tu trudno zaznaczyć dokładnie wsp. wyrażone liczbami niewymiernymi.