wykaż że - równania i nierówności kropka: Wykaż, że jeśli x + y + z = 0, to xy + yz + zx ≤ 0 Czy można to tak rozwiązać na maturze: y(x+z) + zx ≤ 0 y = −(x+z) −(x+z)(x+z) + zx ≤ 0 /*(−1) (x+z)(x+z) ≥ zx x² + 2zx + z² ≥ zx I tu komentarz że 2zx ≥ zx − prawda, a suma dwóch kwadratów jest zawsze większa od zera To wystarczy, jeszcze coś dopisać czy zrobić całkiem inaczej?

wmboczek: 2(−3)≥−3 czy to prawda?

Adamm: x²+2xz+z²≥zx x²+xz+z²≥0 (x+z/2)²+3z²/4≥0 co jest nieujemne jako suma dwóch liczb nieujemnych nie zawsze masz 2zx≥zx

kropka: Jak u Adama z drugiej linijki zrobić trzecią?

relaa: Można wyjść od prawdziwej nierówności x² + y² + z² ≥ −(xy + yz + xz) (x + y + z)² − 2(xy + yz + xz) ≥ −(xy + yz + xz) xy + yz + xz ≤ 0

kropka: Ooo dziękuję, wszystko jasne

Mike: Relaa skąd się wzięła ta pierwsza linijka xd ?

relaa: Jeżeli takiej nierówności nie znasz to sobie ją udowodnij.

Adamm: https://pl.wikipedia.org/wiki/Nier%C3%B3wno%C5%9B%C4%87_Cauchy%E2%80%99ego-Schwarza (xy+yx+xz)²≤(x²+y²+z²)(x²+y²+z²) o tą nierówność chodziło? relaa

Adamm: w pierwszym nawiasie oczywiście miało być (xy+zy+xz)²

relaa: Chodziło mi o najprostszą w świecie nierówność znaną dla licealisty.

1		1		1
	(x + y)2 +		(y + z)2 +		(x + z)2 ≥ 0
2		2		2

x² + y² + z² + xy + yz + xz ≥ 0 x² + y² + z² ≥ −(xy + yz + xz)

Adamm: ok , głupi jestem

Mike: Zawsze robiłem takie wykazywania sposobem adamma i nie wiem skąd to przekształcenie w 1 linijce. Znam wzór na kwadrat sumy trzech wyrazów ale nie mogę dojść do tego z czego wyprowadzona została 1 linijka.

Mike: Ok już nie trzeba, nie odswiezylem strony.