odległość prostych titi: Znalezc odleglosc prostych L : x + y + z = 1 ; x − y − z = 2 i M : x + y = −2 ; 2x + 2y + z = 1 (wsk. Sprawdzic, ze proste te leza na dwoch rownoleglych plaszczyznach) ktos wie jak to zrobic?

jc: A może być inaczej? Pokrywające się płaszczyzny też są równoległe. x+y+z=1 x−y−z=2 2x=3 2y+2z=−1 x=3/2 y+z=−12 Prosta o kierunku (0,1,−1) przechodząca przez punkt (3/2,−1/2,0) x+y=−2 2x+2y+z=1 z=5 x+y=−2 Prosta o kierunku (1,−1,0) przechodząca przez punkt (−3/2,−1/2,5) Odległość = | [(0,1,−1)x(1,−1,0)]*(−3,0,5)| / |(0,1,−1)x(1,−1,0)| = |(1,1,1)*(−3,0,5)| / |(1,1,1)| = 2/√3 Ale lepiej sprawdź!|

Mila: Równania parametryczne prostych: 1) L : x + y + z = 1 ; x − y − z = 2 Przyjmuję : z=t x+y=1−t x−y=2+t 2x=3

	3
x=
	2

	1
y=−		−t
	2

z=t, t∊R k₁=[0,−1,1] wektor kierunkowy prostej ===== 2) M : x + y = −2 ; 2x + 2y + z = 1 y=s x=−2−s z=1−2x−2s⇔z=1−2*(−2−s)−2s z=5 M: x=−2−s y=s z=5 , s∊R k₂^→=[−1,1,0] wektor kierunkowy prostej M ======= 3)

	3		1
P1=(		,−		,0)∊L
	2		2

P₂=(−2,0,5)∊M k₁=[0,−1,1] i k₂^→=[−1,1,0] Proste nie są równoległe: 3) Liczymy wyznacznik:

	7		1
P1P2→=[−		,		,5]
	2		2

	7		1
−				5
	2		2

0 −1 1 −1 1 0 W=−2 ⇔proste są skośne 4) π − płaszczyzna równoległa do obu prostych n^→=k₁^→ x k₂^→ n^→=[0,−1,1] x [−1,1,0]=[−1,−1,−1] wektor normalny płaszczyzny π: −1*(x+2)−1*(y−0)−1*(z−5)=0 x+2+y+z−5=0 π: x+y+z−3=0 5)

	|32−12+0−3|		2		2√3
d(P1,π)=		=		=
	√1+1+1		√3		3

Posprawdzaj rachunki

Jack: L : {x + y + z = 1 {x − y − z = 2

	3
niech x =
	2

	1
y+z = −
	2

	1
zatem niech y = 0, wtedy z = −
	2

	3		1
stad mam punkt A(		, 0 , −		)
	2		2

[1,1,1] x [1,−1,−1] = [0,2,−2] teraz zapiszmy prosta L parametrycznie wykorzystujac punkt nalezacy do prostej (A) oraz wektor [0,2,−2] zatem prosta :

3   x−   2		y−0		1   z+   2
	=		=
0		2		−2

M : {x+y=−2 {2x+2y+z=1 niech x = 0 wtedy y = − 2 oraz z = 1 − 2x − 2y = 1 − 2*(−2) = 1 + 4 = 5 zatem B(0,−2,5) [1,1,0] x [2,2,1] = [1,1,0] zatem prosta :

x−0		y+2		z−5
	=		=
1		1		0

Sprawdzmy czy te proste sa do siebie rownolegle porownujac wspolrzedne wektorowe : (wektory : v = [0,2,−2] oraz u = [1,1,0])

0		2		−2
	=		=
1		1		0

oczywiscie nie, zatem nie sa rownolegle, czyli sa jakos tam skosne.

	|(v x u) o AB|
d(L,M) =
	|v x u|

	3		11
zatem wektor AB = [−		,−2,		]
	2		2

v x u = [2,−2,−2]

	3		11
(v x u) o AB = [2,−2,−2] o [−		,−2,		] = −3 + 4 − 11 = − 10
	2		2

|v x u| = √2² + (−2)² + (−2)² = √4 + 4 + 4 = √3*4 =2√3 zatem odleglosc :

	10
d(L,M) =
	2√3

ale mozesz sprawdzic czy czegos nie skopalem.