Funkcja
Krzysiek: Udowodnij, że jeżeli a jest dowolną liczbą dodatnią, to funkcja f(x)=x3+ax+1 jest rosnąca w
zbiorze ℛ
Oczywiście bez użycia pochodnej
21 gru 20:42
Adamm: b−c>0 ⇔ b>c ⇒ 0<(b−c)(b2+bc+c2)+a(b−c) ⇔ b3+ab+1>c3+ac+1 ⇔ f(b)>f(c)
c. n. d.
21 gru 20:54
Mila: f(x) jest funkcją rosnącą ⇔Dla każdego x∊D :
x1<x2⇒f(x1)<f(x2)
−−−−−−−−−−−
Zał.:
x1<x2⇔x1−x2<0
wtedy:
f(x1)−f(x2)=x13+ax1+1−x23−ax2−1=
=x13−x23+a*(x1−x2)=
=(x1−x2)*(x12+x1*x2+x22)+a*(x1−x2)=
=(x1−x2)*(x12+x1*x2+x22+a)<0 ponieważ:
x1−x2<0 i (x12+x1*x2+x22+a)>0⇔
f(x1)−f(x2)<0⇔f(x1)<f(x2)⇔ f(x) jest funkcją rosnącą
21 gru 20:56
yht:
Funkcja f jest rosnąca, gdy dla każdych x
1, x
2 takich, że x
1<x
2, spełniony jest warunek
f(x
1)<f(x
2)
Niech x
1<x
2, a>0
wtedy
a*x
1<a*x
2
oraz
x
13<x
23
wówczas
f(x
1)=(x
1)
3+a*x
1+1
oraz
f(x
2)=(x
2)
3+a*x
2+1
ponieważ x
13<x
23 oraz a*x
1<a*x
2, to
x
13+a*x
1 < x
23+a*x
2
po dodaniu 1 do obu stron nierówności otrzymujemy
x
13+a*x
1+1 < x
23+a*x
2+1
czyli
f(x
1)<f(x
2)
21 gru 20:59
Jack: z definicji.
jesli x2>x1 to f(x2) > f(x1) czyli f(x2) − f(x1) > 0
zatem, wezmy takie x1,x2, ze x2>x1
wtedy
f(x2) = x23 + ax2 + 1
f(x1) = x13 + ax1 + 1
f(x2) − f(x1) = x23 + ax2 + 1 − x13 − ax1 − 1 = x23 − x13 + a(x2−x1) =
= (x2−x1)(x22+x2*x1+x12) + a(x2−x1) = (x2−x1)(x22+x2*x1+x12+a)
skoro x2 > x1 to x2 − x1 > 0, zatem wyrazenie (x2−x1) > 0
pozostalo nam jeszcze udowodnic, ze
(x22+x2*x1+x12+a) > 0 dla kazdego x1,x2∊R, gdzie x2>x1
oczywiscie wyrazenie (x22+x2*x1+x12+a) jest dodatnie dla kazdego x1,x2∊R gdzie x2>x1,
gdyz prawdziwa jest nierownosc :
(x1−x2)2 ≥ 0, czyli x12+xsup>2 ≥ 2x1*x2
wiec nawet jesli x1*x2 <0 to suma x12+x22 jest wieksze od iloczyny x1*x2
przy czym jak dodamy jeszcze "a" ktore jest dodatnie, to otrzymujemy wyrazenie dodatnie.
21 gru 21:02