wielomian Adamm:

	xn−1
czy wielomian f(x)=		jest nierozkładalny nad ciałem liczb wymiernych dla każdego
	x−1

naturalnego n≥3?

jc: (x⁴−1)/(x−1) = (x²−1)(x²+1)/(x−1) = (x+1)(x²+1) (x⁶−1)/(x⁻1) = ... sam rozłożysz itp. A więc czasem jest rozkładalny, a czasem nie np. (x³−1)/(x−1) = x²+x+1

Saizou : a czy to jest wielomian ?

Kacper: Taka funkcja, to nie wielomian.

Adamm: dziękuję, znalazłem tkzw. kryterium Eisensteina dla którego jednym z przykładów jest

	xp−1
pokazanie że wielomian f(x)=		jest nierozkładalny nad ciałem liczb wymiernych dla
	x−1

p należącego do liczb pierwszych, stąd pytam

Adamm: tak, to jest wielomian

jc: Jeśli n jest liczbą złożoną, to na pewno potrafisz pokazać, że wspomniany wielomian jest rozkładalny. A jak sugeruje zadanie, dla liczb pierwszych mamy wielomian nierozkładalny nad Z (co daje nierozkładalność nad Q, spójrz na lemat Gaussa).

Leszek: radzę sobie poczytać http://www.mini.pw.edu.pl/~mm/algebra/wyklady.pdf

Adamm: dziękuję Leszek, przeczytam to

Adamm: jc, dla n nieparzystego wydaje mi się że nie mamy wielomianu rozkładalnego nad ℚ

Adamm: dla n nieparzystego wielomian przybiera postać f(x)=xⁿ⁻¹+xⁿ⁻²+...+1 przy czym dany wielomian jest n−mianem, a jedyne jego możliwe pierwiastki wymierne to x=−1 lub x=1, przy czym 1 nie jest pierwiastkiem, wielomian nie ma pierwiastków dla x∊ℛ₊ mamy f(−1)=(1−1)+(1−1)+...+1=1 zatem x=−1 nie jest pierwiastkiem tego wielomianu, zatem wielomian nie jest rozkładalny nad ciałem liczb wymiernych dla n nieparzystego

jc: x⁹−1 = (x³−1)(x⁶+x³+1)=(x−1)(x²+x+1)(x⁶+x³+1) x¹⁵−1 = ... sam policz Przy okazji, jak rozkładasz xⁿ−1 nad Z, to bardzo długo wielomiany nierozkładalne po prawej stronie mają współczynniki ±1. Dla jakiego najmniejszego n, pojawią się inne liczby?

Adamm: przepraszam, wydaję mi się że nie do końca rozumiem rozkładalność czyli jeśli mogę rozłożyć wielomian na wielomiany o współczynnikach wymiernych, to mogę powiedzieć że wielomian jest rozkładalny nad ciałem liczb wymiernych? tak?

Adamm: myślałem że rozkładalność wielomianu nad jakimś ciałem jest równoważna podzielności tego wielomianu przez wielomian x−a, przy czym a należy do tego ciała

Adamm: może wrócę do tego kiedy się do edukuję, bo na ten czas chyba nie ma sensu prowadzić dyskusji

jc: Rozkładalność f oznacza, że f=gh, przy czym st g > 0, st g > 0. x²−2 jest nierozkładalny nad Q, ale jest rozkładalny nad R x²−2 = (x−√2)(x+√2). Podzielność przez x−a oznacza, że a jest pierwiastkiem wielomianu.

Adamm: tak, teraz już rozumiem jeśli f da się przedstawić w postaci iloczynu dwóch wielomianów rozpiętych nad ciałem S, to jest on rozkładalny nad tym ciałem

jc: Ale mają być to wielomiany niezerowego stopnia (nie mogą być stałe)!

Adamm: tak, oczywiście jeszcze raz dziękuję za wszystkie wyjaśnienia