trygonometria funkcja okresowa Maja: Czy funkcja f jest funkcja okresową? jeśli tak , to wyznacz okres podstawowy tej funkcji . f(x) = sin4√2x + cos3√2x gdzie x∊R ... bardzo proszę o pomoc ...nie wiem jak się za to zabrać

Jerzy: Funkcja jest okresowa,jeśli istnieje takie T,że f(x + T) = f(x) f(x + T) = sin[4√2(x + T)] + cos[3√2(x + T) = sin(4√2x + 4√2T) + cos(3√2x + 3√2T) podstawmy: T = √2π f(x + √2T) = sin(4√2x + 8π) + cos(3√2x + 6π) = sin4√2 + cos3√2 = f(x0 Funkcja jest okresowa, T = √2π

Maja: Jerzy dziękuję a możesz mi powiedzieć skąd wiemy ze za T podstawiamy akurat √2 π

Jerzy: Zgadujemy .... po takim podstawieniu otrzymujemy w nawiasach: 8π = 2*4*π ; 6π = 2*3*π ( czyli wielokrotność kąta 2π)

Maja: hmm nie wiem czy moja nauczycielka zaakceptuje rozwiązanie ze zgadywaniem....nie dałoby się tego zrobić inaczej?

relaa: W takim razie może taki sposób? sin(4√2x + 4√2T) + cos(3√2x + 3√2T) = = sin(4√2x)cos(4√2T) + sin(4√2T)cos(4√2x) + cos(3√2x)cos(3√2T) − sin(3√2x)sin(3√2T) sin(4√2x)cos(4√2T) + sin(4√2T)cos(4√2x) + cos(3√2x)cos(3√2T) − sin(3√2x)sin(3√2T) = sin(4√2x) + cos(3√2x) Po porównaniu otrzymujemy cos(4√2T) = 1 ∧ sin(4√2T) = 0 ∧ cos(3√2T) = 1∧ sin(3√2T) = 0 cos(4√2T) = cos(3√2T) 4√2T = 3√2T + k • 2π ∨ 4√2T = −3√2T + k • 2π

	√2
T = k • √2π ∨ T = k •		π
	7

sin(4√2T) = sin(3√2T) 4√2T = 3√2T + k • 2π ∨ 4√2T = π − 3√2T + k • 2π

	π		√2
T = k • √2π ∨ T =		+ k •
	7√2		7

Okresem podstawowym jest wspólna najmniejsza dodatnia wartość tych rozwiązań, więc T = √2π.

Mila:

	2π		π		√2π
y=sin4√2x : T1=		=		=
	4√2		2√2		4

	2π		√2π
y=cos3√2x : T2=		=
	3√2		3

wypisujemy kolejne wielokrotności:

√2π		2√2π		3√2π		4√2π		5√2π
	,		,		,		=√2π,		,..
4		4		4		4		4

√2π		2√2π		3√2π		4√2π
	,		,		=√2π,
3		3		3		3

T=√2π [N[=====]